数学における合計とは、加数または加数と呼ばれる一連の数値の基本的な加算です。結果はそれらの合計です。数学では、数値、関数、ベクトル、行列、多項式、および一般にあらゆる数学的オブジェクトの要素は、+ で示される加算/合計と呼ばれる演算に関連付けることができます。

明示的なシーケンスの合計は、加算の連続として表されます。たとえば、(1, 3, 4, 7) の合計は 1 + 3 + 4 + 7 と表され、上記の表記の結果は 15、つまり 1 + 3 + 4 + 7 = 15 となります。加算演算は結合的かつ可換的であり、系列/シーケンスをリストするときに括弧は必要なく、加数の順序に関係なく結果は同じになります。

目次

• 総和公式とは何ですか?
• どこで総和式を使用するか?
• 総和の性質
• 標準的な合計の公式
• 総和計算式の例
• 総和計算式に関するよくある質問

総和公式とは何ですか?

合計またはシグマ (∑) 表記は、長い合計を簡潔な方法で書き出すために使用される方法です。この表記は、任意の数式または関数に付けることができます。

例えば、 _i=1 ∑ ¹⁰ (i) は有限数列 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 の加算のシグマ表記です。最初の要素は 1、最後の要素は 10 です。

合計の公式

どこで総和式を使用するか?

総和表記は数学のさまざまな分野で使用できます。

• シリーズのシーケンス
• 統合
• 確率
• 順列と組み合わせ
• 統計

注記： 合計は反復加算の短縮形です。合計を加算のループに置き換えることもできます。

総和の性質

プロパティ 1

_i=1 ∑ ⁿ c = c + c + c + …。 + c (n) 倍 = nc

例: 次の値を求めます。 _i=1 ∑ ⁴ c.

プロパティ 1 を使用すると、次の値を直接計算できます。 _i=1 ∑ ⁴ c は 4×c = 4c となります。

プロパティ 2

_c=1 ∑ ⁿ kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …。 + (k×n) …。 (n) 倍 = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ⁿ c

例: 次の値を求めます。 _i=1 ∑ ⁴ 5i.

プロパティ 2 と 1 を使用すると、次の値を直接計算できます。 _{私= 1} ∑ ⁴ 5i を 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50。

プロパティ 3

_c=1 ∑ ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …。 + (k+n) …。 (n) 倍 = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

例: 次の値を求めます。 _i=1 ∑ ⁴ (5+i)。

プロパティ 2 と 3 を使用すると、次の値を直接計算できます。 _i=1 ∑ ⁴ (5+i) として 5×4 + _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30。

プロパティ 4

_k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

例: 次の値を検索します。 _i=1 ∑ ⁴ (私 + 私 ² ）。

プロパティ 4 を使用すると、次の値を直接計算できます。 _i=1 ∑ ⁴ (私 + 私 ² ） として _i=1 ∑ ⁴ 私 + _i=1 ∑ ⁴ 私 ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40。

標準的な合計の公式

さまざまな合計の公式は、

最初の n 個の自然数の合計: (1+2+3+…+n) = _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n +1)]/2

最初の n 個の自然数の二乗和: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _i=1 ∑ ⁿ （私 ² ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

最初の n 個の自然数の 3 乗の和: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ （私 ³ ) = [n ² ×(n+1) ² )]/4

最初の n 個の偶数自然数の合計: (2+4+…+2n) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) = [n ×(n +1)]

最初の n 個の奇数自然数の合計: (1+3+…+2n-1) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) = n ²

最初の n 個の偶数自然数の二乗和: (2 ² +4 ² +…+(2n) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

最初の n 個の奇数の自然数の二乗和: (1 ² +3 ² +…+(2n-1) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

最初の n 個の偶数自然数の 3 乗の和: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

最初の n 個の奇数の自然数の 3 乗の和: (1 ³ +3 ³ +…+(2n-1) ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ³ = n ² (2n ² - 1)

関連記事：

• 自然数の和
• 数学の合計
• 算術演算
• 等差数列と等比数列

総和計算式の例

例 1: 合計の公式を使用して、最初の 10 個の自然数の合計を求めます。

解決：

n個の自然数の和を求める和の公式を使う _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n +1)]/2

最初の 10 個の自然数の合計が得られます = _i=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

例 2: 合計の公式を使用して、5 より大きい最初の 10 個の自然数の合計を求めます。

解決：

質問によると：

5 より大きい最初の 10 個の自然数の合計 = _i=6 ∑ ¹⁵ （私）

= _i=1 ∑ ¹⁵ （私） - _i=1 ∑ ⁵ （私）

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6] /2

= 120 – 15

= 105

例 3: 指定された有限シーケンス 1 の合計を求める ² +2 ² +3 ² +…8 ² 。

解決：

与えられたシーケンスは 1 です ² +2 ² +3 ² +…8 ² 、次のように書くことができます _i=1 ∑ ⁸ 私 ² 合計のプロパティ/公式を使用する

_i=1 ∑ ⁸ 私 ² = [8×(8 +1)×(2×8 +1)]/6 = [8×9×17] / 6

= 204

例 4: 簡略化する _c=1 ∑ ⁿ KC。

解決：

与えられた合計式 = _c=1 ∑ ⁿ KC

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n項)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ⁿ kc = k _c=1 ∑ ⁿ c

例 5: x を単純化して評価する ₌₁ ∑ ⁿ (4+x)。

解決：

与えられた合計は _x=1 ∑ ⁿ (4+x)

私たちが知っているように、 _c=1 ∑ ⁿ (k+c) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

与えられた合計は次のように簡略化できます。

4n+ _x=1 ∑ ⁿ （バツ）

例 6: 簡略化する _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ）。

解決：

与えられた合計は _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ）。

私たちが知っているように _k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

与えられた合計は次のように簡略化できます _x=1 ∑ ⁿ (2倍) + _x=1 ∑ ⁿ （バツ ² ）。

総和計算式に関するよくある質問

自然数の和の公式とは何ですか?

1 から n までの自然数の合計は、n (n + 1) / 2 の式を使用して求められます。たとえば、最初の 100 個の自然数の合計は、100 (100 + 1) / 2 = 5050 となります。

一般的な合計の公式とは何ですか?

シーケンスの合計を求めるために使用される一般的な合計公式 {a ₁ 、 ₂ 、 ₃ 、…、あ _n } は、 ∑a _私 = a ₁ +a ₂ +a ₃ + … + a _n

∑はどうやって使うのですか？

∑ は合計の記号であり、系列の合計を求めるために使用されます。

n の合計の公式は何ですか?

n個の自然数の和の式は、 n個の数の和の式は [n(n+1)2]