命題論理

命題論理は、全体として捉えられ、論理接続子を介して接続された命題 (またはステートメント、文、主張) 間の論理関係を研究する数学の一分野です。

この記事では、命題論理と関連トピックについて詳しく説明しました。

ロジックとは何ですか?
命題論理
真理値表

1. 否定
2.接続詞
3. 分離
4. 排他的論理和
5. 含意
6. 二条件または二重含意

ロジックとは何ですか?

ロジックは、すべての数学的推論とすべての自動化された推論の基礎です。論理規則は、数学的ステートメントの意味を指定します。これらのルールは、次のようなステートメントを理解し、推論するのに役立ちます。

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

簡単な英語で言うと、 2 つの平方和ではない整数が存在します 。

数理論理学の重要性

論理規則は数学的記述に正確な意味を与えます。これらのルールは、有効な数学的引数と無効な数学的引数を区別するために使用されます。数学的推論を理解する上での重要性とは別に、ロジックは、デジタル回路の設計からコンピュータプログラムの構築、プログラムの正しさの検証に至るまで、コンピュータサイエンスにおいて数多くの用途があります。

プロポーションとは何ですか? 命題は論理の基本的な構成要素です。これは、True または False のいずれかであるが、両方ではない宣言文として定義されます。の 真理値 命題のは、それが真のステートメントであれば True (T として示されます)、偽ステートメントの場合には False (F として示されます) になります。例えば、

太陽は東から昇り、西に沈みます。
1 + 1 = 2
「b」は母音です。

上記の文はすべて命題であり、最初の 2 つは有効 (True)、3 番目は無効 (False) です。真理値を持たない、または複数の真理値を持つ可能性のある一部の文は命題ではありません。例えば、

今何時ですか？
外に出て遊ぶ
x + 1 = 2

最初の 2 つは真理値を持たず、3 番目は真または偽である可能性があるため、上記の文は命題ではありません。命題を表現するには、 命題変数 使用されています。慣例により、これらの変数は次のような小さなアルファベットで表されます。 p,:q,:r,:s 。命題を扱う論理の領域はと呼ばれます 命題計算 または 命題論理 。既存の提案を活用して新たな提案を生み出すことも含まれます。 1 つ以上の命題を使用して構築された命題は、 複合命題 。命題は以下を使用して結合されます。 論理接続詞 または 論理演算子 。

命題論理

真理値表

考えられるすべてのシナリオにおける命題の真理値を知る必要があるため、論理接続子によって結合されて特定の複合命題を形成する命題の考えられるすべての組み合わせを考慮します。考えられるすべてのシナリオを表形式にまとめたものを、 真理値表 。最も一般的な論理接続詞 -

1. 否定

もし p は命題であり、その後、 p で表されます eg p 、簡単な英語に翻訳すると、次のような意味になります。 p あるいは単にそうではない p 。の真理値 -p の真理値の逆です p 。の真理表 -p は：

p	￣p
T	F
F	T

例、「今日は雨が降っています」の否定は、「今日は雨が降っているわけではない」、または単に「今日は雨が降っていない」です。

2.接続詞

任意の 2 つの命題に対して p そして q 、それらの接続詞は次のように表されます。 pwedge q 、つまり p そして q 。接続詞 pwedge q 両方の場合に True です p そして q が True、それ以外の場合は False。の真理表 pwedge q は：

p	q	p∧q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

例、命題の結合 p – 今日は金曜日で、 q - 今日は雨が降ってます、 pwedge q 今日は金曜日で、今日は雨が降っています。この命題は雨の金曜日にのみ当てはまり、他の雨の日や雨が降らない金曜日には当てはまりません。

3. 分離

任意の 2 つの命題に対して p そして q 、それらの論理和は次のように表されます。 pvee q 、つまり p または q 。論理和 pvee q いずれかの場合に True です p または q が True、それ以外の場合は False。の真理表 pvee q は：

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

例、命題の論理和 p – 今日は金曜日で、 q - 今日は雨が降ってます、 pvee q 今日は金曜日か、今日は雨が降っています。この命題は、金曜日または雨の日（雨の金曜日を含む）であれば真ですが、金曜日以外の雨が降らない日には偽となります。

4. 排他的論理和

任意の 2 つの命題に対して p そして q 、それらの排他的論理和は次のように表されます。 poplus q 、つまり次のいずれかを意味します p または q しかし両方ではありません。排他的または poplus q いずれかの場合に True です p または q は True で、両方が true または両方が false の場合は False です。の真理表 poplus q は：

p	q	p⊕q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

例、排他的または命題の p – 今日は金曜日で、 q - 今日は雨が降ってます、 poplus q 今日は金曜日か、今日は雨が降っているかのどちらかですが、両方ではありません。この命題は、金曜日または雨の日（雨の金曜日を除く）であれば真であり、雨が降っていない金曜日または雨の金曜日以外の日では偽となります。

5. 含意

任意の 2 つの命題に対して p そして q 、ステートメント if p それから q は含意と呼ばれ、次のように表されます。 p ightarrow q 。意味合いとしては p ightarrow q 、 p と呼ばれています仮説または先例または前提そして q と呼ばれています結論または結果。その意味合いは、 p ightarrow q とも呼ばれます 条件文 。次の場合、含意は偽です p それは真実であり、 q それ以外の場合は true です。の真理表 p ightarrow q は：

p	q	p→q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

なぜだろうと不思議に思う人もいるかもしれない p ightarrow q 真のとき p は誤りです。これは、含意により、次のことが保証されるためです。 p そして q が true であれば、その意味も true になります。しかし、前提条件が満たされている場合、含意は何も保証しません。 p は誤りです。その含意が偽りであるかどうかを知る方法はありません。 p 起こらなかった。この状況は、有罪が証明されるまでは無実の立場に似ています。 p ightarrow q 偽であることが証明されるまでは真とみなされます。含意を呼び出すことができないので、 p ightarrow q falseの場合 p が false の場合、唯一の選択肢はそれを true と呼ぶことです。

これは、 爆発原理 False ステートメントは何かを暗示します条件ステートメントは数学的推論において非常に重要な役割を果たすため、表現にはさまざまな用語が使用されます p ightarrow q 、その一部を以下に示します。

p の場合、p の必要条件が qp の場合、qq は qp で十分です。ただし、p から≠pq が続かない限り、qq の場合のみです。

例、もし金曜日なら今日は雨が降っているという命題は次のような形になります。 p ightarrow q 。上記の命題は、金曜日でない場合(前提が偽)、または金曜日で雨が降っている場合に真となり、金曜日であるが雨が降っていない場合は偽となります。

6. 二条件または二重含意

任意の 2 つの命題に対して p そして q 、ステートメント p もし、そしてその場合に限り(iff) q は二条件式と呼ばれ、次のように表されます。 pleftrightarrow q 。声明 pleftrightarrow q とも呼ばれます 二重含意 。 pleftrightarrow q と同じ真理値を持ちます (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) この含意は次の場合に当てはまります p そして q は同じ真理値を持ち、それ以外の場合は false です。の真理表 pleftrightarrow q は：

p	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

その他の一般的な表現方法 pleftrightarrow q は：

qif p then q、および逆に p if q にとって p は必要かつ十分です。

例: 今日が金曜日である場合に限り、今日は雨が降ります。という形式の命題です。 pleftrightarrow q 。上記の命題は、金曜日でなく雨が降っていない場合、または金曜日で雨が降っている場合には真であり、金曜日ではない場合、または雨が降っていない場合には偽となります。 エクササイズ：

1) 次のステートメントを考慮してください。