正規分布: 正規分布は、確率変数の分布の最も一般的または正規の形式です。 したがって、正規分布という名前が付けられます。とも呼ばれます ガウス分布 統計学や確率論で。この分布を使用して、多数の確率変数を表します。

について学びましょう 正規分布について、その式、特徴、例などを含めて詳しく説明します。

目次

• 正規分布とは何ですか?
• 正規分布の例
• 正規分布の式
• 正規分布曲線
• 正規分布の標準偏差
• 正規分布グラフ
• 正規分布表
• 正規分布の性質
• 統計における正規分布
• 正規分布の問題と解決策

正規分布とは何ですか?

正規分布を、任意のシステムの連続確率変数の確率密度関数として定義します。ここで正規分布を定義するために、任意の確率変数 X の確率密度関数として f(x) を取ると仮定します。

また、この関数は区間 (x, {x + dx}) の間で積分され、次のようになります。

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞)、

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

正規分布の上部値によってトレースされる曲線が鐘の形をしていることがわかります。したがって、正規分布は、 釣鐘曲線 。

チェック： Python – 統計における正規分布

正規分布の例

以下を含むさまざまなタイプのデータに対して正規分布を描画できます。

• 人の身長の分布
• あらゆる測定における誤差の分布
• 任意の患者の血圧の分布など

正規分布の式

正規分布（ガウス分布）の確率密度関数の式を以下に追加します。

どこ、

• ×は ランダム変数
• μは 平均
• σは 標準偏差

正規分布曲線

どれでも 正規分布確率変数は、分布に関連する未知の値をとる変数であり、通常は範囲によって制限されます。

確率変数の例は次のとおりです。 クラス内の生徒の身長の分布の場合、確率変数はこの中で任意の値を取ることができます。 ただし、通常は物理的に強制されるため、2 フィートから 6 フィートの境界によって制限されます。

• 任意の範囲 正規分布は無限大になる可能性があり、この場合、正規分布はその範囲に悩まされないと言えます。この場合、範囲は – ∞ から + ∞ に拡張されます。
• ベルカーブはまだ存在します、その場合、 その範囲内のすべての変数は連続変数と呼ばれます すべての値が一般に平均値に合わせて閉じているため、その分布は正規分布と呼ばれます。
• の グラフまたはその曲線は、正規分布曲線または正規分布グラフと呼ばれます。

正規分布の標準偏差

グラフとして広がっているデータの平均は、グラフの対称線を見つけるのに役立ちますが、標準偏差は、データが両側の平均値からどれだけ離れているかを示します。標準偏差の値が小さいほど、グラフ内の値が近づき、グラフが狭くなります。標準偏差の値が高くなると、グラフ内の値がより分散し、グラフの幅が広くなります。

標準偏差の経験則

一般に、正規分布には正の標準偏差があり、標準偏差は正規曲線の領域をより小さな部分に分割し、各部分は特定の領域に該当するデータの割合を定義します。これは、正規分布における標準偏差の経験則と呼ばれます。 。

経験則によれば、

• データの 68% は、およそ平均の 1 標準偏差以内に収まります。つまり、{ 平均 – 1 標準偏差、および平均 + 1 標準偏差 }
• データの 95% は、平均値のおよそ 2 標準偏差以内に収まります。つまり、{ の間に収まります。 平均 – 2 標準偏差、および平均 + 2 標準偏差 }
• データの 99.7% は、平均値のおよそ 3 番目の標準偏差内に収まります。つまり、{ 平均 – 3 番目の標準偏差、および平均 + 3 番目の標準偏差 }

正規分布グラフ

勉強する このグラフから、経験則を使用してデータを 3 つの部分に広く分散していることが明らかです。したがって、経験則は 68 – 95 – 99.7 ルールとも呼ばれます。

チェック： 数学 |確率分布セット 3 (正規分布)

正規分布表

正規分布テーブル、正規分布 Z テーブルとも呼ばれるのは、正規分布の Z 値のテーブルです。この正規分布 Z テーブルは次のように与えられます。

正規分布の性質

正規分布の重要な特性としては、次のようなものがあります。

• データの正規分布の場合、平均、中央値、および最頻値は等しい（すなわち、 平均値 = 中央値 = 最頻値)。
• 正規分布曲線の下の合計面積は 1 に等しくなります。
• 正規分布曲線は平均に沿って中心で対称です。
• 正規分布曲線では、中心値の右側にちょうど半分の値があり、中心値の右側にちょうど半分の値があります。
• 正規分布は、平均値と標準偏差の値を使用して定義されます。

• 正規分布曲線は単峰性曲線、つまりピークが 1 つだけある曲線です

他の人はこちらも見ています:

• ポアソン分布
• 二項分布
• 確率分布

統計における正規分布

• 正規分布。ガウス分布とも呼ばれます。 、は 現実世界の多数の現象を記述する釣鐘型曲線 。これは多くの研究分野で登場するため、統計学で最も重要な概念の 1 つです。
• 釣鐘型曲線 : 中央が最高点で、両側に向かって尾が先細になっている対称的な鐘を想像してください。 これが正規分布の基本的な形です。ほとんどのデータ ポイントは中心の周囲に集まっており、中心から遠ざかるにつれてデータ ポイントの頻度は低くなります。
• 中心傾向: 釣鐘曲線の中心はデータの中心傾向を表します。つまり、ほとんどの値が集中している場所を示します。 これは、特定のデータセットに応じて、平均、中央値、または最頻値になる可能性があります。
• データの拡散: 釣鐘曲線の幅は、データがどの程度広がっているかを示します。曲線が広いほどデータ ポイントがより分散していることを意味し、曲線が狭いほど、データ ポイントが互いに接近していることを意味します。
• 確率変数: 正規分布は通常、特定の範囲内の任意の値を取ることができる連続確率変数とともに使用されます。 例には、身長、体重、IQ スコア、試験の成績などが含まれます。

チェック : ビジネス統計における正規分布

正規分布の問題と解決策

正規分布に関するいくつかの問題を解いてみましょう

例 1: 次のデータの正規分布の確率密度関数を求めます。 x = 2、μ = 3、σ = 4。

解決：

考えると、

• 変数 (x) = 2
• 平均 = 3
• 標準偏差 = 4

正規分布の確率密度の公式を使用する

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

単純化すると、

f(2, 3, 4) = 0.09666703

例 2: 確率変数の値が 4、平均が 4、標準偏差が 3 の場合、ガウス分布の確率密度関数を求めます。

解決：

考えると、

• 変数 (x) = 4
• 平均 = 4
• 標準偏差 = 3

正規分布の確率密度の公式を使用する

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

単純化すると、

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e ⁰

f(4, 4, 3) = 0.13301

結論 – 正規分布

正規分布はガウス分布としても知られ、統計と確率論の基本概念です。平均を中心とした対称的な釣鐘型の曲線が特徴です。平均や標準偏差などの正規分布の特性は、多くの統計分析や応用において重要な役割を果たします。正規分布は、金融、工学、自然科学、社会科学などの分野で、さまざまな現象をモデル化し、分析するために広く使用されています。正規分布を理解すると、データのより適切な解釈、確率の推定、統計的推論に基づいた情報に基づいた意思決定が可能になります。

正規分布に関するよくある質問

正規分布とは何ですか?

統計学における正規分布は、平均に関して対称な確率分布であり、平均に近いデータが平均から遠いデータよりも頻繁に発生することを示します。

正規分布はなぜ正規と呼ばれるのでしょうか?

正規分布はガウス分布とも呼ばれ、さまざまな自然過程が通常ガウス分布に従うことが示されているため、正規分布と呼ばれています。

正規分布グラフとは何ですか?

正規分布グラフは、ガウス分布または釣鐘曲線とも呼ばれ、特定の種類の確率分布です。グラフにプロットすると、対称的な釣鐘型の曲線が特徴です。

正規分布 Z テーブルとは何ですか?

標準正規分布テーブルまたは Z スコア テーブルとも呼ばれる Z テーブルは、標準正規分布内の特定の値に関連付けられた確率を見つけるために統計で使用される参照テーブルです。

正規分布の特徴は何ですか?

正規分布の性質は次のとおりです。

• 正規分布曲線は平均値に関して対称です。
• 正規分布は本質的に単峰性です。つまり、単一のピーク値を持ちます。
• 正規分布曲線は常に釣鐘型になります。
• 正規分布の平均値、最頻値、中央値 いつも同じです。
• 正規分布は経験則に従います。

正規分布の平均とは何ですか?

平均値 (μ で示される) は、データの中心値または平均値を表します。これは、データが対称的に分散されるポイントでもあります。

正規分布の標準偏差とは何ですか?

標準偏差 (σ で示される) は、分布におけるデータ ポイントの広がりまたは分散を測定します。 σ が小さいほど、データ ポイントが平均の周囲に密集していることを示し、σ が大きいほど、分散が大きいことを示します。

経験則（68-95-99.7ルール）とは何ですか？

正規分布状態の経験則、

• データの約 68% が平均値の 1 標準偏差以内に収まります。
• 約 95% が平均値の 2 標準偏差以内に収まります。
• 約 99.7% は平均値の 3 標準偏差以内に収まります。

正規分布の用途とは何ですか?

正規分布のさまざまな用途は次のとおりです。

• さまざまな自然現象の研究に
• 財務データの学習用。
• 社会科学におけるさまざまなパラメータの研究と予測など。

正規分布の限界とは何ですか?

正規分布は非常に重要な静的概念ですが、それにも次のようないくつかの制限があります。

• データのさまざまな分布は正規分布に従っていないため、これらのデータについてコメントすることはできません。
• 正規分布やベル曲線に頼りすぎることは、100% 正確ではないため、データを予測する良い方法ではありません。