逆三角恒等式: 数学では、逆三角関数はアークス関数または逆三角関数としても知られています。逆三角関数は、基本的な三角関数、つまりサイン、コサイン、タンジェント、コセカント、セカント、コタンジェントの逆関数です。任意の三角比の角度を見つけるために使用されます。逆三角関数は、一般に幾何学、工学などの分野で使用されます。逆三角関数の表現は次のとおりです。

a = f(b) の場合、逆関数は次のようになります。

b = f ^-1 (a)

逆三角関数の例は、sin です。 ^-1 x、cos ^-1 ×、だから ^-1 ×など。

目次

• 逆三角恒等式の領域と範囲
• 逆三角関数の性質
• 逆三角関数の恒等式
• 逆三角恒等式に関するサンプル問題
• 逆三角恒等式の練習問題

逆三角恒等式の領域と範囲

次の表は、いくつかの三角関数とその定義域および範囲を示しています。

逆三角関数の性質

逆三角関数のプロパティは次のとおりです。

プロパティ 1:

1. それなし ^-1 (1/x) = コ秒 ^-1 x、x ≥ 1 または x ≤ -1 の場合
2. コス ^-1 (1/x) = 秒 ^-1 x、x ≥ 1 または x ≤ -1 の場合
3. それで ^-1 (1/x) = 簡易ベッド ^-1 x、x> 0の場合

プロパティ 2:

1. それなし ^-1 (-x) = -sin ^-1 x、x ∈ [-1 , 1] の場合
2. それで ^-1 (-x) = -tan ^-1 x、x ∈ R の場合
3. コセック ^-1 (-x) = -cosec ^-1 x、|x| の場合≥ 1

プロパティ 3

1. コス ^-1 (-x) = π – cos ^-1 x、x ∈ [-1 , 1] の場合
2. 秒 ^-1 (-x) = π – 秒 ^-1 x、|x| の場合≥ 1
3. ベビーベッド ^-1 (-x) = π – コット ^-1 x、x ∈ R の場合

プロパティ 4

1. それなし ^-1 x + cos ^-1 x = π/2、x ∈ [-1,1] の場合
2. それで ^-1 × + ベビーベッド ^-1 x = π/2、x ∈ R の場合
3. コセック ^-1 x + 秒 ^-1 x = π/2 、 |x| の場合≥ 1

プロパティ 5

1. それで ^-1 × + それで ^-1 y = そう ^-1 ( x + y )/(1 – xy)、xy <1 の場合
2. それで ^-1 × – それで ^-1 y = そう ^-1 (x – y)/(1 + xy)、xy> -1 の場合
3. それで ^-1 × + それで ^-1 y = π + Tan ^-1 (x + y)/(1 – xy)、xy>1 の場合。 x、y>0

特性6

1. 2反 ^-1 x = 罪 ^-1 (2x)/(1 + x ² )、|x| の場合≤ 1
2. 2反 ^-1 x = cos ^-1 (1 – x ² )/(1 + x ² )、x ≥ 0 の場合
3. 2反 ^-1 × = そう ^-1 (2x)/(1 – x ² )、-1の場合

逆三角関数の恒等式

逆三角関数の正体は次のとおりです。

1. それなし ^-1 (sin x) = x を指定 -π/2 ≤ x ≤ π/2
2. コス ^-1 (cos x) = x (ただし 0 ≤ x ≤ π)
3. それで ^-1 (tan x) = x は -π/2 を指定します
4. なし(なし ^-1 x) = x を指定 -1 ≤ x ≤ 1
5. cos(cos ^-1 x) = x を指定 -1 ≤ x ≤ 1
6. まあまあ ^-1 x) = x を指定 x ∈ R
7. cosec(cosec ^-1 x) = x (-1 ≤ x ≤ ∞ または -∞ を指定)
8. 秒(秒 ^-1 x) = x、ただし 1 ≤ x ≤ ∞ または -∞
9. ベビーベッド(簡易ベッド) ^-1 x) = x が提供される -∞
10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
13. 2コス ^-1 x = cos ^-1 (2x ² - 1)
14. 2罪 ^-1 x = 罪 ^-1 2x√(1 – x ² )
15. 3罪 ^-1 x = 罪 ^-1 (3x – 4x ³ )
16. 3コス ^-1 x = cos ^-1 (4x ³ – 3倍）
17. 3反 ^-1 × = そう ^-1 ((3x – x ³ /1～3倍 ² ))
18. それなし ^-1 x + 罪 ^-1 y = なし ^-1 { x√(1 – y ² ) + y√(1 – x ² )}
19. それなし ^-1 × – 罪 ^-1 y = なし ^-1 { x√(1 – y ² ) – y√(1 – x ² )}
20. コス ^-1 x + cos ^-1 y = cos ^-1 [xy – √{(1 – x ² )(1 – および ² )}]
21. コス ^-1 x – cos ^-1 y = cos ^-1 [xy + √{(1 – x ² )(1 – および ² )}
22. それで ^-1 × + それで ^-1 y = そう ^-1 (x + y/1 – xy)
23. それで ^-1 × – それで ^-1 y = そう ^-1 (x – y/1 + xy)
24. それで ^-1 × + それで ^-1 そして+タン ^-1 z = それで ^-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

他の人はこちらも見ています:

• 数学における三角法 |表、公式、恒等式
• すべての三角関数の恒等式のリスト
• 逆三角関数
• 逆三角関数のグラフ

逆三角恒等式に関するサンプル問題

質問 1: なしで試してください ^-1 x = 秒 ^-1 1/√(1-x ² )

解決：

なしでしましょう ^-1 x = y

⇒ sin y = x , (sin y = 垂直/斜辺 ⇒ cos y = √(1- 垂直 ² )/斜辺 )

⇒ cos y = √(1 – x ² )、ここでは斜辺 = 1

⇒ 秒 y = 1/cos y

⇒ 秒 y = 1/√(1 – x ² )

⇒ y = 秒 ^-1 1/√(1 – x ² )

⇒なし ^-1 x = 秒 ^-1 1/√(1 – x ² )

したがって、証明されました。

質問 2: 試してみてください ^-1 x = コ秒 ^-1 √(1 + x ² ）/バツ

解決：

そうしましょう ^-1 x = y

⇒ 正接 y = x、垂直 = x、底辺 = 1

⇒ sin y = x/√(x ² + 1) , (斜辺 = √(垂直なので) ² +ベース ² ))

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x ² + 1)/x

⇒ y = コ秒 ^-1 √(x ² + 1)/x

⇒それで ^-1 x = コ秒 ^-1 √(x ² + 1)/x

したがって、証明されました。

質問 3: 自分自身を次のように評価します ^-1 バツ）

解決：

コスしてみましょう ^-1 x = y

⇒ cos y = x 、底 = x 、斜辺 = 1 したがって、sin y = √(1 – x ² )/1

⇒tan y = sin y/cos y

⇒ タン y = √(1 – x ² ）/バツ

⇒ y = そうです ^-1 √(1 – x ² ）/バツ

⇒ コス ^-1 × = そう ^-1 √(1 – x ² ）/バツ

したがって、tan(cos ^-1 x) = タン(タン ^-1 √(1 – x ² )/x ) = √(1 – x ² ）/バツ。

質問4: それで ^-1 √(sin x) + コット ^-1 √(sin x) = y。 cos とを求めます。

解決：

私たちはその日焼けを知っています ^-1 × + ベビーベッド ^-1 x = /2 したがって、この恒等式を質問で与えられた式と比較すると、y = π/2 が得られます。

したがって、cos y = cos π/2 = 0となります。

質問5: それで ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan ^-1 x、x> 0。x を解きます。

解決：

それで ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan ^-1 バツ

⇒ 2反 ^-1 (1 – x)/(1 + x) = 黄褐色 ^-1 × …(1)

それはわかってるよ、2tan ^-1 × = そう ^-1 2x/(1 – x ² ）。

したがって、式 (1) の左辺は次のように書くことができます。

それで ^-1 [ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)] ² }]

= それで ^-1 [ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x) ² – (1 – x) ² }]

= それで ^-1 [ 2(1 – x ² )/(4x)]

= それで ^-1 (1 – x ² )/(2x)

LHS = RHS なので、

それで ^-1 (1 – x ² )/(2x) = 黄褐色 ^-1 バツ

⇒ (1 – x ² )/2x = x

⇒ 1 – × ² = 2倍 ²

⇒ 3倍 ² = 1

⇒ x = ± 1/√3

x は 0 より大きい必要があるため、x = 1/√3 が許容可能な答えになります。

質問 6: 試してみてください ^-1 √x = (1/2)cos ^-1 (1 – x)/(1 + x)

解決：

そうしましょう ^-1 √x = y

⇒ タン y = √x

⇒それで ² y = x

したがって、

RHS = (1/2)cos ^-1 (1-それで ² y)/(1 + タン ² そして）

= (1/2)cos ^-1 (cos ² そしてなしで ² y)/(cos ² と + なし ² そして）

= (1/2)cos ^-1 (cos ² そしてなしで ² そして）

= (1/2)cos ^-1 (cos 2y)

= (1/2)(2y)

= そして

= それで ^-1 √x

=左HS

したがって、証明されました。

質問7: それで ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + ベビーベッド ^-1 (1 – x ² )/(2x) = π/2, -1