SAT または ACT を受験していて、データ セットの操作方法を確実に知りたいですか?あるいは、高校や大学の数学の授業の記憶をリフレッシュしたいと考えているかもしれません。いずれにせよ、 データセットの平均を見つける方法を知っておくことが重要です。

数学における平均値の用途、平均値の計算方法、平均値に関する問題がどのようなものかを説明します。

平均値とは何ですか?何に使用されますか?

平均、または算術平均は、一連の数値の平均値です。 より具体的には、これは、特定のデータセットにおける「中心的な」または典型的な傾向の尺度です。

平均 — 単に「平均」と呼ばれることもよくあります。 統計やデータ分析で使用される用語です。さらに、「平均」または「平均」という言葉が、「最頻値」、「中央値」、「範囲」という用語とともに使用されることも珍しくありません。これらは、データ セット内のパターンや共通の値を計算するための別の方法です。

これらの用語の定義を簡単に説明します。

モード — データセット内で最も頻繁に現れる値 中央値 — データセットの中央の値 (最小値から最大値の順に並べた場合) 範囲 — データセット内の最大値と最小値の差

それでは、平均値の正確な目的は何でしょうか?広範囲の数値を含むデータセットがある場合、 平均値を知ることでできること これらの数値が基本的にどのようにして 1 つの代表値にまとめられるかについて、一般的な感覚が得られます。

たとえば、あなたが SAT を受ける準備をしている高校生なら、次のことを知りたいかもしれません。 現在の平均SATスコア 。平均スコアを知ることで、SAT を受験するほとんどの学生が SAT でどのようなスコアを獲得する傾向があるかを大まかに知ることができます。

平均値を求める方法: 概要

データセットの算術平均を求めるには、次のことを行うだけです。 データセット内のすべての数値を合計し、その合計を値の合計数で割ります。

例を見てみましょう。次のデータセットが与えられたとします。

$$6、10、3、27、19、2、5、14$$

平均を見つけるには、まず次のようにデータセット内のすべての値を合計する必要があります。

$$6 + 10 + 3 + 27 + 19 + 2 + 5 + 14$$

ご了承ください ここで値を並べ替える必要はありません (ただし、必要に応じて追加することもできます)、提示された順序で簡単に追加できます。

次に、すべての値の合計を書き留めます。

$$6 + 10 + 3 + 27 + 19 + 2 + 5 + 14 = o86$$

最後のステップでは、この合計 (86) をデータセット内の値の数で割ります。 8 つの異なる値 (6、10、3、27、19、2、5、14) があるため、86 を 8 で割ります。

$$86 / 8 = 10.75$$

このデータセットの平均は 10.75 です。

平均値の計算方法: 練習問題

平均値の求め方はわかりました -言い換えると、 特定のデータセットの平均を計算する方法 -私 学んだことをテストする時が来ました。このセクションでは、平均値を求める、または平均値を使用することに関する 4 つの数学の問題を提示します。

最初の 2 つの質問は私たち自身のものですが、 後の 2 つは公式の SAT/ACT 質問です。 したがって、この 2 つはもう少し考える必要があります。

質問をスクロールして回答と回答の説明を表示します。

練習問題 1

次の数値セットの平均を求めます: 5、26、9、14、49、31、109、5。

練習問題 2

次の数値リストが与えられます: 4、4、2、11、6、$X$、1、3、2。算術平均は 4 です。$X$ の値は何ですか?

練習問題 3

数値のリスト 41、35、30、$X$、$Y$、15 の中央値は 25 です。数値のリストの最頻値は 15 です。最も近い整数に対して、リストの平均は何ですか?

1. 二十
2. 25
3. 26
4. 27
5. 30

出典: 2018-19 年度公式 ACT 模擬テスト

練習問題 4

霊長類保護区では、すべての雄霊長類の平均年齢は 15 歳、すべての雌霊長類の平均年齢は 19 歳です。霊長類保護区の雄と雌の霊長類を合わせたグループの平均年齢 $m$ について正しいのは次のうちどれですか?

1. 百万ドル = 17ドル
2. 百万ドル > 17ドル
3. $m <17$
4. 15ドル

ソース： 大学委員会

平均値の求め方: 解答と解説

上記の 4 つの練習問題を試したら、答えを比較して、データの平均を求める方法だけでなく、平均について知っていることを利用して数学の問題にもっと効果的に取り組む方法も理解できているかどうかを確認してください。平均を扱うものです。

上記の 4 つの練習問題に対する答えは次のとおりです。

• 練習問題 1: 31
• 練習問題 2: 3
• 練習問題 3: C. 26
• 練習問題 4: D. $15

読み続けて、各質問の答えの説明を確認してください。

練習問題1 解答解説

次の数値セットの平均を求めます: 5、26、9、14、49、31、109、5。

これは、指定されたデータセットの算術平均を計算することを求める単純な質問です。

初め、 データセット内のすべての数値を合計します (最低値から最高値の順に並べる必要はないことに注意してください — 中央値を見つけようとしている場合にのみこれを実行してください):

$$5 + 26 + 9 + 14 + 49 + 31 + 109 + 5 = o248$$

次に、この合計を計算し、 それをデータセット内の値の数で割ります。 ここでは合計値が 8 つあるため、248 を 8 で割ります。

$$248 / 8 = 31$$

平均と正解は 31 です。

練習問題2 解答解説

次の数値リストが与えられます: 4、4、2、11、6、$X$、1、3、2。算術平均は 4 です。$X$ の値は何ですか?

この質問については、 基本的には逆向きに作業していることになります。 平均値はすでにわかっているので、この知識を使用して、データ セット内の欠損値 $X$ を解決する必要があります。

平均を求めるには、セット内のすべての数値を合計し、その合計を値の合計数で割ることを思い出してください。

平均が 4 であることがわかっているので、まず 4 に値の数を掛けます ($X$ を含め、ここには 9 つの個別の数値があります)。

$$4 * 9 = 36$$

これにより、データセットの合計 (36) が得られます。 ここで、問題は代数問題になり、$X$ を単純化して解くだけです。

$$4 + 4 + 2 + 11 + 6 + X + 1 + 3 + 2 = 36$$

$$33 + X = 36$$

$$X = 3$$

正解は 3 です。

練習は完璧を作る！

練習問題3 解答解説

1. 二十
2. 25
3. 26
4. 27
5. 30

このトリッキーに見える数学の問題は、ACT の公式模擬テストからのものであるため、典型的な算術平均の問題よりも直接的ではないことが予想されます。

ここでは、2 つの未知の値を含むデータセットが与えられています。

41、35、30、$X$、$Y$、15

また、次の 2 つの重要な情報も提供されます。

• モードは15です
• 中央値は25です

このデータセットの平均を解くには、与えられたすべての情報を使用する必要があります。 最頻値と中央値が何であるかを知る必要があります。

最頻値はデータ セット内で最も頻繁に現れる値であり、中央値はデータ セット内の中央の値です (すべての値を最低から最高まで並べた場合)。

モードは 15 なので、これは次のことを意味するはずです。 値 15 が少なくとも 2 回出現する データセット内に出現する回数（つまり、他のどの値よりも多く出現する回数）。結果として、$X$ または $Y$ を 15 に置き換えることができます。

41、35、30、$X$、15、15

中央値は 25 であるとも言われています。中央値を見つけるには、まずデータ セットを最小値から最大値の順に並べ替える必要があります。

中央値が15以上30未満なので、 $X$を入れるべきです これら 2 つの値の間。 値を最小値から最大値まで並べ替えると、次のようになります。

15、15、$X$、30、35、41

合計 6 つの値 ($X$ を含む) があり、次のことを意味します。 中央値が数値になります その通り データセットの 3 番目と 4 番目の値の中間。 要するに、 25 (中央値) は $X$ と 30 の中間になければなりません。

これは、$X$ が 20 に等しくなければならないことを意味します。これは、$X$ が 20 から 5 離れ、30 (または 2 つの値の中間) から 5 離れた位置に配置されるためです。

これで、不明な値のない完全なデータセットが完成しました。

15、15、20、30、35、41

ここで私たちがしなければならないのは、これらの値を使用して平均を求めることだけです。まずはそれらをすべて合計することから始めます。

15+15+20+30+35+41=156

最後に、合計をデータセット内の値の数 (つまり 6) で割ります。

156/6=26

正解はC.26です。

練習問題4 解答解説

霊長類保護区では、すべての雄霊長類の平均年齢は 15 歳、すべての雌霊長類の平均年齢は 19 歳です。霊長類保護区の雄と雌の霊長類を合わせたグループの平均年齢 $m$ について正しいのは次のうちどれですか?

1. 百万ドル = 17ドル
2. 百万ドル > 17ドル
3. $m <17$
4. 15ドル

この練習問題は、 College Board Web サイトからの公式 SAT 数学練習問題 。

この数学の問題では、平均値を解くことは期待されていませんが、代わりに 2 つの平均値についての知識を使用して、より大きなグループの平均値が何であるかを説明する必要があります。具体的には、私たちが尋ねられているのは、 これら 2 つの手段をどのように使用して、平均年齢を代数的に表現できるか ( $im$ ） のために 両方 雄と雌の霊長類。

私たちが知っていることは次のとおりです。まず、すべての霊長類のオスの平均年齢は 15 歳です。第二に、すべてのメス霊長類の平均年齢は 19 歳です。つまり、一般に霊長類のメスは 年上の 霊長類のオスよりも。

霊長類のオスの平均年齢 (15 歳) は霊長類のメス (19 歳) よりも低いため、次のことがわかります。 両方のグループの平均年齢は論理的に 19 歳を超えることはできません。

同様に、メスの霊長類の平均年齢はオスの霊長類の平均年齢よりも高いため、次のことがわかります。 両者の平均年齢は論理的に 15 歳を下回ることはありません。

したがって、霊長類のオスとメスを合わせた平均年齢は、 より大きな 15歳（男性の平均年齢）よりも高いが、 未満 19歳（女性の平均年齢）。

この理論的根拠は、次の不等式として書くことができます。

$$15

正解はDです。15 < $im$ <19.

次は何ですか？

データセットについてさらに詳しく知るには、 SAT Math における平均値、中央値、最頻値の最適な戦略に関するガイドをご覧ください。

もうすぐ SAT または ACT を受験しますか?そうなると、どのような数学がテストされるのか知りたくなるはずです。 チェックアウト SAT 数学セクションの詳細ガイド および「ACT Math」セクションを参照して開始してください。

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