三角関数の微分: 公式、証明、および例

三角関数の微分 sin、cos、tan、cot、sec、cosec などの三角関数の導関数です。微分は微積分の重要な部分です。これは、ある量の他の量に対する変化率として定義されます。三角関数の微分は、コンピューター、エレクトロニクス、数学などのさまざまな分野で実際に使用されています。

この記事では、三角関数の微分と公式、関連する証明、およびその応用について学びます。また、いくつかの例を解き、三角関数の微分に関するいくつかの FAQ への回答を得ます。三角関数の微分というトピックから学習を始めましょう。

三角関数の導関数

差別化とは何ですか?

関数の微分は、任意の変数に対する関数の変化率です。の派生関数 f(x) のは f'(x) または (d /dx)[f(x)] と表されます。

区別する手順は、三角関数を三角関数の微分といいます。つまり、三角関数の角度に対する変化率を求めることを三角関数微分といいます。

6 つの基本的な三角関数は、sin、cos、tan、cosec、sec、cot です。すべての三角関数の微分を公式と証明とともに求めます。

三角関数の微分規則

6 つの基本的な三角関数の微分は次のとおりです。

関数	関数の導関数
×なし	cosx
cosx	-×なし
だから×	秒 ² バツ
コ秒 x	-コセック×コット×
秒 x	秒×日焼け×
ベビーベッド×	-cosec ² バツ

これら 6 つの三角関数の導関数の証明は、以下のリンクで確認できます。

三角関数の導関数
Sin x の導関数	Cosec x の導関数
Cos x の導関数	秒 x の導関数
Tan x の導関数	コット x の導関数

三角関数の微分公式の証明

すべての三角関数の公式について上で説明したように、ここでは、極限を利用して、導関数、商則、連鎖則の第一原理を使用して、上記の三角関数の微分の公式を証明します。

sin(x)の微分

sin x の導関数を証明するには、微分の第一原理といくつかの基本的な三角関数の恒等式と極限公式を使用します。証明に使用される三角関数の恒等式と極限公式を以下に示します。

sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
リム _×→0 [sinx / x] = 1
リム _×→0 [(cos x – 1)/x] = 0

三角関数 sin x の微分の証明を始めましょう

微分の第一原理により

(d/dx) sin x = lim _h→0 [{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim _h→0 [{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim _h→0 [{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim _h→0 [{(cos h – 1) / h} sin x] + lim _h→0 [(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [2と3を使用する]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

したがって、sin x を微分すると cos x になります。

cos(x)の微分

cos x の導関数を証明するには、微分の第一原理といくつかの基本的な三角関数の恒等式と極限公式を使用します。証明に使用される三角関数の恒等式と極限公式を以下に示します。

cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
リム _×→0 [sinx / x] = 1
リム _×→0 [(cos x – 1)/x] = 0

三角関数 cos x の微分の証明を始めましょう

微分の第一原理により

(d/dx) cos x = lim _h→0 [{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim _h→0 [{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim _h→0 [{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim _h→0 [{(cos h – 1) / h} cos x] – lim _h→0 [(h/hなし) xなし]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [2と3を使用する]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

したがって、cos x の微分は -sin x となります。

Tan(x)の微分

Tan x の導関数を証明するには、商の規則といくつかの基本的な三角関数の恒等式と極限公式を使用します。証明に使用される三角関数の恒等式と極限公式を以下に示します。

タンx = sin x / cos x
秒 x = 1 / cos x
コス ² x + 罪 ² x = 1
(d/dx) sin x = cos x
(d/dx) cos x = -sin x

三角関数tan x の微分の証明を始めましょう

以来、(1)により

タン x = sinx / cos x

⇒ (d/dx)tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

商ルールを使用する

(d/dx)tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos ² バツ

⇒ (d/dx)tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos ² x [4 と 5 まで]

⇒ (d/dx)tan x = [cos ² x + 罪 ² x] / cos ² バツ

⇒ (d/dx)tan x = 1 / cos ² × [3まで]

⇒ (d/dx) タン x = 秒 ² バツ [2時までに]

したがって、tan x の微分は sec です。 ² バツ。

cosec(x)の微分

cosec x の導関数を証明するには、連鎖則といくつかの基本的な三角関数の恒等式および極限公式を使用します。証明に使用される三角関数の恒等式と極限公式を以下に示します。

cot x = cos x / sin x
cosec x = 1 / sin x
(d/dx) sin x = cos x

三角関数 cosec x の微分の証明を始めましょう

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [By 2]

連鎖ルールを使用する

(d/dx) cosec x = [-1 / sin ² x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin ² x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [1 と 2 による]

したがって、cosec x の微分は – cosec x cot x となります。

秒(x)の微分

秒 x の導関数を証明するには、商ルールといくつかの基本的な法則を使用します。三角恒等式そして限界公式。証明に使用される三角関数の恒等式と極限公式を以下に示します。

タンx = sin x / cos x
秒 x = 1 / cos x
(d/dx) cos x = -sin x

三角関数 sec x の微分の証明を始めましょう

(d/dx) 秒 x = (d/dx) [1 / cos x] [By 2]

連鎖ルールを使用する

(d/dx) 秒 x = [-1 / cos ² x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) 秒 x = [-1 / cos ² x] (-xなし)

⇒ (d/dx) 秒 x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) 秒 x = 秒 x タン x [1と2による]

したがって、sec x の微分は sec x Tan x となります。

cot(x) の微分

cot x の導関数を証明するには、商の規則といくつかの基本的な三角関数の恒等式と極限公式を使用します。証明に使用される三角関数の恒等式と極限公式を以下に示します。

cot x = cos x / sin x
cosec x = 1 / sin x
コス ² x + 罪 ² x = 1
(d/dx) sin x = cos x
(d/dx) cos x = -sin x

三角関数 cot x の微分の証明を始めましょう

以来、(1)により

cot x = cos x / sin x

(d/dx) cot x = (d/dx)[cosx / sin x]

商ルールを使用する

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin ² バツ

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin ² x [4 と 5 まで]

⇒ (d/dx) cot x = [ -sin ² x – cos ² x] / 罪 ² バツ

⇒ (d/dx) cot x = -[ sin ² x + cos ² x] / 罪 ² バツ

⇒ (d/dx) cot x = -1 / sin ² × [3まで]

⇒ (d/dx) cot x = -cosec ² バツ [2時までに]

したがって、cot x の微分は -cosec です。 ² バツ。

他のいくつかのトリガー関数の導関数

三角関数の微分は連鎖律を使えば簡単に行えます。複素三角関数や複合三角関数は次の応用で解くことができます。連鎖法則差別化のこと。次の見出しでは、連鎖則と複合三角関数の微分についてさらに詳しく学習します。

連鎖律を使った微分
複合三角関数の微分

これらのトピックについて詳しく説明しましょう。

連鎖律と三角関数

連鎖律では、p(q(x)) が関数の場合、この関数の導関数は、p(q(x)) の導関数と q(x) の導関数の積によって与えられると述べています。チェーンルールは区別するために使用されます複合関数。連鎖ルールは、複合三角関数を簡単に区別するために主に使用されます。

例: f(x) = Tan 4x の導関数を求めます。

解決：

f(x) = タン 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

連鎖ルールを適用すると

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (秒 ² 4x)(4)

複合三角関数の微分

複合三角関数の微分を評価するために、微分の連鎖則を適用します。複合三角関数とは、三角関数の角度そのものが関数となる関数です。合成三角関数の微分は、連鎖則と三角関数の微分公式を適用することで簡単に評価できます。

例: f(x) = cos(x の導関数を求めます。 ² +4)

解決：

f(x) = cos(x ² +4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x ² +4)

連鎖ルールを適用すると

f'(x) = (d/dx) [cos(x) ² +4)](d/dx)[x ² +4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x ² +4)

逆三角関数とは何ですか?

の逆三角関数は三角関数の逆関数です。逆三角関数は 6 つあります: sin ^-1 、コス ^-1 、それで ^-1 、cosec ^-1 、秒 ^-1 、ベビーベッド ^-1 。逆三角関数はアーク関数とも呼ばれます。

逆三角関数の微分

6 つの逆三角関数の導関数は次のとおりです。

関数	関数の導関数
それなし ^-1 バツ	1/√(1 – x ² )
コス ^-1 バツ	-1/√(1 – x ² )
それで ^-1 バツ	1/(1 + x ² )
コセック ^-1 バツ	1/[\|x\|√(x ² - 1)]
秒 ^-1 バツ	-1/[\|x\|√(x ² - 1)]
ベビーベッド ^-1 バツ	-1/(1 + x ² )

例: f(x) = 3sin の導関数を求めます。 ^-1 x + 4cos ^-1 バツ

解決：

f'(x) = (d/dx) [3sin ^-1 x + 4cos ^-1 バツ]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin ^-1 x ]+ (d/dx) [4cos ^-1 バツ]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin ^-1 x ]+ 4(d/dx) [cos ^-1 バツ]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x ² )] + 4[-1 / √(1 – x ² )]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x ² )] – 4[1 / √(1 – x ² )]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x ² )] (3.4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x ² )]

三角関数の微分に関する応用

実生活では、三角関数の微分をさまざまな用途に応用できます。三角関数の微分の応用例は以下の通りです。

三角関数の微分を利用して、三角関数の接線と法線の傾きを求めることができます。
関数の最大値と最小値を決定するために使用することもできます。
コンピュータやエレクトロニクスの分野でも使用されています。

また、チェックしてください

逆トリガー導関数
反誘導体
微分公式

三角関数の微分に関するサンプル問題

問題 1: f(x) = Tan 2x の導関数を求めます。

解決：

f(x) = タン 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)tan 2x

連鎖ルールを適用すると

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (秒 ² 2x)(2)

⇒ f'(x) = 2秒 ² 2倍

問題 2: y = cos x / (4x の導関数を求めます) ² )

解決：

y = cos x / (4x ² )

商ルールの適用

y’ = [(d/dx)cosx(4x ² ) – cosx (d/dx)(4x ² )] / (4x ² ) ²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x ² ) – cosx (8x)] / (16x ⁴ )

⇒ y’ = [-4x ² sinx – 8xcosx] / (16x ⁴ )

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x ⁴ )

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x ³ )

問題 3: 導関数 f(x) = cosec x + x Tan x を評価します。

解決：

f(x) = cosec x + xtan x

公式と積則を適用することで

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x Tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec ² バツ

問題 4: 関数 f(x) = 6x の導関数を求めます。 ⁴ cosx

解決：

f(x) = 6x ⁴ cosx

プロダクトルールを適用することで

f'(x) = (d/dx) [6x ⁴ cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x ⁴ )(cos x) + (x ⁴ ) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x ³ cos x + x ⁴ (-xなし)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x ³ cos x – x ⁴ ×なし]

⇒ f'(x) = 6x ³ [ 4cos x – x sin x]

問題 5: 導関数を評価します: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

解決：

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

プロダクトルールを適用することで

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x) ² – (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin ² x – 2 sinx – x cosx – cos ² バツ

三角関数の微分に関する練習問題

問題 1: y = sin(x) + cos(x) の導関数を求めます。

問題 2: y = 2sin(x) – 3cos(x) の導関数を計算します。

問題 3: y = 2sin(3x) の導関数を求めます。

問題 4: y = Tan(5x) の導関数を求めます。

問題 5: y = sin(x) cos(x) の導関数を求めます。

問題 6: y = cos の導関数を計算します。 ² （バツ）。

問題 7: y = Tan の導関数を決定します。 ² （バツ）。

問題 8: y = Tan(x) sec(x) の導関数を求めます。

三角関数の微分に関するよくある質問

差別化とは何ですか?

微分は、関数がその独立変数に対して変化する割合を計算する数学的演算です。

三角関数とは何ですか?

三角関数は、直角三角形の角度をその辺の比率に関連付ける数学関数です。

一般的な三角関数とは何ですか?

一般的な三角関数には、サイン (sin)、コサイン (cos)、タンジェント (tan)、コセカント (cosec)、セカント (sec)、およびコタンジェント (cot) が含まれます。

三角関数の微分を定義します。

三角関数を微分する方法を三角関数微分といいます。

サイン関数、つまり sin (x) をどのように微分しますか?

sin (x) の導関数は cos (x) です。数学的表記では、d/dx(sin(x)) = cos(x) となります。

コサイン関数、つまり cos (x) を微分すると何が得られるでしょうか?

cos (x) の導関数は -sin (x) です。数学的表記では、d/dx(cos(x)) = -sin(x) となります。

正接関数、つまりtan (x)をどのように微分しますか?

Tan(x) の導関数は sec です。 ² (x)、ここで sec(x) は正割関数です。数学的表記では、d/dx(tan(x)) = 秒 ² （バツ）。

三角関数の微分公式は何ですか?

三角関数の微分の公式は次のとおりです。

(d/dx) sin x = cos x

(d/dx) cos x = -sin x

(d/dx) タン x = 秒 ² バツ

(d/dx) cosec x = -cosec x cot x

(d/dx) 秒 x = 秒 x タン x

(d/dx) cot x = -cosec ² バツ