逆三角関数の微分とは、逆三角関数の変化率を指します。関数の導関数は、独立変数に対する関数の変化率であることがわかっています。これを学ぶ前に、三角関数の微分の公式を知っておく必要があります。逆三角関数の導関数を求めるには、まず三角関数を別の変数と同等にしてその逆関数を求め、それから陰的な微分公式を使用して微分します。

この記事では、D について学習します。 逆三角関数の導関数、逆三角関数の微分の公式、 そしてそれに基づいていくつかの例題を解きます。 しかし、先に進む前に、次の概念をブラッシュアップしましょう。 私 逆三角関数と陰的微分。

• 逆三角関数
• 暗黙的な微分とは何ですか?
• 逆三角関数の微分とは何ですか?
• 逆三角関数の導関数の証明
• 逆トリガーの微分公式
• 逆トリガーの導関数の例

逆三角関数

逆三角関数 三角比の逆関数、つまり、sin、cos、tan、cot、sec、cosec です。これらの関数は、物理学、数学、工学、その他の研究分野などで広く使用されています。加算と減算が互いに逆関数であるのと同様に、三角関数の逆関数にも同じことが当てはまります。

それなし θ = x

⇒ 私 = s で ⁻¹ バツ ​

逆三角関数の表現

それらは追加によって表されます アーク プレフィックスに入力するか、べき乗に -1 を加算します。

逆サインは 2 つの方法で記述できます。

• それなし ^-1 バツ
• 逆正弦×

cosとtanも同様です。

注記： 罪を混同しないでください ^-1 x with (sin x) ^-1 。それらは違う。罪を書く ^-1 x は逆サインを書く方法ですが、(sin x) ^-1 1/sin x を意味します。

逆三角関数の領域

関数はその点で連続である場合にのみ微分可能であり、関数が特定の点で連続である場合、その点は関数の定義域であることがわかっています。したがって、逆三角関数の定義域を学習する必要があります。

ここで、陰的微分のテクニックを簡単に学びましょう。

暗黙的な微分とは何ですか?

暗黙的な微分 連鎖規則を利用して、暗黙的に定義された関数を区別する方法です。暗黙関数は、1 つの変数ではなく 2 つの変数を含む関数です。このような場合、関数を明示的に 1 つの変数に変換できる場合もありますが、常にそうとは限りません。一般に、関数を明示的に見つけて微分するのは簡単ではありません。代わりに、f(x, y)、つまり両方の変数を完全に微分してから、方程式の残りの部分を解いて f'(x) の値を見つけることができます。

詳細を読む: 数学における微積分

逆三角関数の微分とは何ですか?

逆三角微分は、逆三角関数の微分です。六つある 三角関数 そして、これらの三角関数のそれぞれに対して逆関数が存在します。これらは罪です ^-1 x、cos ^-1 ×、だから ^-1 x、コ秒 ^-1 x、秒 ^-1 ×、簡易ベッド ^-1 バツ。陰的微分法を使用して、逆三角関数の導関数を求めることができます。まず、逆三角関数の導関数とは何かを学びましょう。

• 罪の派生語 ^-1 x は d(sin ^-1 x)/dx = 1/√(1 – x ² ) すべての x ϵ (-1, 1)
• cosの導関数 ^-1 x は d(cos ^-1 x)/dx = -1/√(1 – x ² ) すべての x ϵ (-1, 1)
• タンの派生語 ^-1 x は d(タン ^-1 x)/dx = 1/(1 + x ² ) すべての x ϵ R について
• cosec の導関数 ^-1 x は d(cosec ^-1 x)/dx = -1/ すべての x ϵ R – [-1, 1]
• 秒の導関数 ^-1 x は d(秒 ^-1 x)/dx = 1/x (すべての x ϵ R – [-1, 1])
• コットの派生語 ^-1 x は d(cot ^-1 x)/dx = -1/(1 + x ² ) すべての x ϵ R について

逆三角関数微分の画像は以下に添付されています。

6 つの逆三角関数すべての導関数が何かを学習しました。次に、6 つの逆三角関数の導関数を見つける方法を学習します。

逆三角関数の導関数の証明

逆三角関数は、第一原理を使用して微分することができます。また、連鎖則の使用を伴う陰的な微分公式を使用することもできます。第一原理を使用して逆三角関数の導関数を求めるには、長いプロセスが必要です。この記事では、陰的微分を使用して逆三角関数を微分する方法を学びます。次の手順を使用して、逆三角関数の導関数 (dy/dx) を見つけることができます。

ステップ 1: 三角関数が sin y = x の形式であると仮定します。

ステップ 2: 陰的微分を使用して上記の関数の導関数を求めます。

ステップ 3: dy/dx を計算する

ステップ 4: 三角恒等式を使用して、ステップ 3 に存在する三角関数の値を置き換えます。

sin 逆数 x の導関数

sin y = x と仮定しましょう

x についての両辺を微分する

⇒コスと。 dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

私たちはその罪を知っているので、 ² と + Cos ² y = 1

⇒ コス ² y = 1 – 罪 ² そして

⇒ 居心地の良い = √(1 – 罪 ² y) = √(1 – x ² ) sin y = x があるので

この cos y の値を式 (i) に代入します。

dy/dx = 1/√(1 – x ² ) ここで、y = 罪 ^-1 バツ

cos 逆数 X の導関数

cos y = x と仮定しましょう

x についての両辺を微分する

⇒ -となし。 dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

私たちはその罪を知っているので、 ² と + Cos ² y = 1

⇒なし ² y = 1 – cos ² そして

⇒ sin y = √(1 – cos ² y) = √(1 – x ² ) cos y = x があるため

この sin y の値を式 (i) に代入します。

dy/dx = -1/√(1 – x ² ) ここで、y = cos ^-1 バツ

タン逆数 X の導関数

Tan y = x と仮定します。

x についての両辺を微分する

⇒ 秒 ² やあ。 dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/秒 ² そして→(i)

私たちはその秒を知っているので、 ² など ² y = 1

⇒ 秒 ² y = 1 + タン ² そして

⇒ 秒 ² y = (1 + タン ² y) = (1 + x ² )tan y = x があるため

この秒の値を入れると ² 式 (i) の y

dy/dx = 1/(1 + x ² ) ここで、y = タン ^-1 バツ

コット逆数 X の導関数

cot y = x と仮定しましょう

x についての両辺を微分する

⇒ -cosec ² やあ。 dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/コ秒 ² そして→(i)

csec がわかっているので、 ² そして – ベビーベッド ² y = 1

⇒ コセック ² y = 1 + コット ² そして

⇒ コセック ² y = (1 + コット ² y) = (1 + x ² ) cot y = xがあるので

このcosecの値を入れると ² 式 (i) の y

dy/dx = -1/(1 + x ² ) ここで、y = コット ^-1 バツ

秒の逆数 X の導関数

秒 y = x と仮定しましょう

x についての両辺を微分する

⇒ 秒 y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/秒 y.tan y →(i)

私たちはその秒を知っているので、 ² など ² y = 1

⇒それで ² y = 秒 ² そして – 1

⇒tan y = √(秒 ² y – 1) = √(x ² – 1) 秒 y = x があるため

このtan y の値を式(i)に代入すると、

dy/dx = 1/x ここで、秒 y = x および y = 秒 ^-1 バツ

cosec 逆 X の導関数

cosec y = x と仮定しましょう

x についての両辺を微分する

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

私たちはそのcosecを知っているので、 ² そして – ベビーベッド ² y = 1

⇒ 簡易ベッド ² y = コ秒 ² そして – 1

⇒ cot y = √(cosec ² y – 1) = √(x ² – 1) cosec y = x があるため

このtan y の値を式(i)に代入すると、

dy/dx = -1/x ここで、cosec y = x および y = cosec ^-1 バツ

逆トリガーの微分公式

逆三角関数の微分方法を学習したので、問題で直接使用できる逆三角関数の導関数の公式を見ていきます。逆三角関数の導関数の表を以下に示します。

続きを読む、

• パラメトリック形式の導関数
• 導関数
• デリバティブの適用
• 指数関数の導関数

逆トリガーの導関数の例

例 1: 罪を微分する ^-1 （バツ）？

解決：

させて、 そして = それなし ⁻¹ ( バツ )

方程式の両側で正弦を取ると、次のようになります。

sin y = sin(sin ^-1 バツ）

逆三角法の性質により、sin(sin ^-1 x) = x

罪 y = x

ここで両辺を x に関して微分すると、

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

以下の観察を使用すると、これをさらに単純化できます。

それなし ² そして+cos ² y = 1

バツ ² +cos ² y = 1 {sin y = x として}

コス ² y = 1-x ²

cos y = √(1 – x ² )

値を代入すると、次のようになります。

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x ² )

例 2: cos を微分する ^-1 （バツ）？

解決：

させて、

そして = cos ⁻¹ ( バツ )

方程式の両側でコサインを取ると、次のようになります。

cos y = cos(cos ^-1 バツ）

逆三角法の性質により、cos(cos ^-1 x) = x

cos (y) = x

ここで両辺を x に関して微分すると、

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

以下の観察を使用すると、これをさらに単純化できます。

それなし ² そして+cos ² y = 1

それなし ² y + x ² = 1 {cos y = x として}

それなし ² y = 1-x ²

sin y = √(1 – x ² )

値を代入すると、次のようになります。

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x ² )

例 3: タンの微分 ^-1 （バツ）？

解決：

させて、 そして = それで ⁻¹ ( バツ )

方程式の両側でtanを取ると、次のようになります。

タン y = タン(タン ^-1 バツ）

逆三角法の性質により、tan(tan ^-1 x) = x

タン y = x

ここで両辺を x に関して微分すると、

d/dx{sin y} = d/dx{x}

秒 ² (x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/秒 ² バツ

以下の観察を使用すると、これをさらに単純化できます。

秒 ² など ² y = 1

秒 ² y–x ² = 1

秒 ² y = 1 + x ²

値を代入すると、次のようになります。

dy/dx = 1/秒 ² そして

dy/dx = 1/(1 + x ² )

例 4: y = cos ^-1 (-2x ² ）。 x = 1/2 における dy/dx を求めますか?

解決：

方法 1 (陰的な微分を使用する)

考えると、 そして = コス ⁻¹ (−2 バツ ² )

⇒ コス そして = −2 バツ ²

x に関する両辺を微分する

d/dx{cos y} = d/dx{-2x ² }

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

簡素化

それなし ² そして+cos ² y = 1

それなし ² および + (-2x ² ) ² = 1 {as cos y = -2x ² }

それなし ² y + 4x ⁴ = 1

それなし ² y = 1 – 4x ⁴

sin y = √(1 – 4x ⁴ )

取得した値を代入すると、

dy/dx = 4x/√{1 – 4x ⁴ }

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2) ⁴ }

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

方法 2 (cos 逆数 x の微分がわかっているので連鎖律を使用)

考えると、 そして = コス ⁻¹ (−2 バツ ² )

x に関する両辺を微分する

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

例 5: 差別化する egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

解決策:

させて、

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

x に関する両辺を微分する

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

逆トリガー微分に関する質問

逆トリガー導関数の質問で次の質問を試してください。

Q1: 罪を区別します ^-1 (3x – 4x ³ ) x ϵ -1/2 の場合