A、B、C を集合とし、A から B への関係を R、B から C への関係を S とします。つまり、R は A × B の部分集合であり、S は B × の部分集合です。 C. 次に、R と S は、R◦S で示され、次のように定義される A から C への関係を生じます。

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S  

関係 R◦S は R と S の組成として知られています。単に RS と表記されることもあります。

R を集合 A 上の関係、つまり R を集合 A からそれ自体への関係とする。このとき、R とそれ自体の合成である R◦R が常に表されます。また、R◦RをRと表記する場合もあります。 ² 。同様に、R ³ =R ² ◦R = R◦R◦R など。したがって、R ⁿ はすべての正の n に対して定義されます。

例1: X = {4, 5, 6}、Y = {a, b, c}、Z = {l, m, n} とします。関係 R を考えてみましょう ₁ XからY、Rまで ₂ YからZまで。

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)}  

関係の構成を見つける （私） R ₁ R ₂ (ii) R ₁ R ₁ ^-1

解決：

(i) 構成関係 R ₁ R ₂ 図に示すように:

R ₁ R ₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6,n)}

(ii) 構成関係 R ₁ R ₁ ^-1 図に示すように:

R ₁ R ₁ ^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

関係と行列の構成

R◦S を見つける別の方法もあります。 M にしましょう _R そしてM _S は、それぞれ関係 R と S の行列表現を示します。

例

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR  

解決： 関係 R と S の行列を図に示します。

(i) 関係 R と S の合成を取得します。まず M を掛けます。 _R Mさんと _S 行列 M を取得するには _R ×M _S 図に示すように:

行列 M の非ゼロのエントリ _R ×M _S RoS に関連する要素を示します。それで、

したがって、関係 R と S の合成 R o S は次のようになります。

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.  

(ii) まず、行列 M を乗算します。 _R 図に示すように、それ自体では

したがって、関係 R と S の合成 R o R は次のようになります。

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}  

(iii) 行列 M を乗算します。 _S Mさんと _R 行列 M を取得するには _S ×M _R 図に示すように:

行列 M の非ゼロのエントリ _S ×M _R S o R に関連する要素を示します。

したがって、関係 S と R の合成 S o R は次のようになります。

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.