Ordinamento topologico
Ordinamento topologico per Grafico aciclico diretto (DAG) è un ordinamento lineare dei vertici tale che per ogni bordo diretto u-v, vertice In viene prima In nell'ordinazione.
Nota: L'ordinamento topologico per un grafico non è possibile se il grafico non è a GIORNO .
Esempio:
Pratica consigliata Soluzione basata su DFS per trovare un ordinamento topologico è già stato discusso.Ingresso: Grafico:
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Esempio
Produzione: 5 4 2 3 1 0
Spiegazione: Il primo vertice nell'ordinamento topologico è sempre un vertice con grado interno pari a 0 (un vertice senza spigoli entranti). Un ordinamento topologico del grafico seguente è 5 4 2 3 1 0. Può esserci più di un ordinamento topologico per un grafico. Un altro ordinamento topologico del grafico seguente è 4 5 2 3 1 0.
L'ordine topologico potrebbe non essere unico:
Ordinamento topologico è un problema di dipendenza in cui il completamento di un'attività dipende dal completamento di numerose altre attività il cui ordine può variare. Cerchiamo di comprendere questo concetto tramite un esempio:
Supponiamo che il nostro compito sia raggiungere la nostra Scuola e per arrivarci dobbiamo prima vestirci. La dipendenza dall'indossare vestiti è mostrata nel grafico delle dipendenze sottostante. Ad esempio non puoi indossare le scarpe prima di indossare i calzini.
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Dall'immagine sopra avresti già capito che esistono diversi modi per vestirsi, l'immagine sotto mostra alcuni di questi modi.
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Puoi elencare tutto il possibile ordinamento topologico di vestirsi per il grafico delle dipendenze di cui sopra?
Algoritmo per l'ordinamento topologico utilizzando DFS:
Ecco un algoritmo passo passo per l'ordinamento topologico utilizzando Depth First Search (DFS):
- Crea un grafico con N vertici e M -bordi diretti.
- Inizializza uno stack e un array visitato di dimensioni N .
- Per ogni vertice non visitato nel grafico, procedere come segue:
- Chiama la funzione DFS con il vertice come parametro.
- Nella funzione DFS, contrassegnare il vertice come visitato e chiamare ricorsivamente la funzione DFS per tutti i vicini non visitati del vertice.
- Una volta che tutti i vicini sono stati visitati, metti il vertice nella pila.
- Dopo tutto, i vertici sono stati visitati, estrai gli elementi dallo stack e li aggiungi all'elenco di output finché lo stack non è vuoto.
- L'elenco risultante è l'ordine topologicamente ordinato del grafico.
Illustrazione Algoritmo di ordinamento topologico:
L'immagine sotto è un'illustrazione dell'approccio di cui sopra:
Flusso di lavoro generale dell'ordinamento topologico
Passo 1:
- Iniziamo DFS dal nodo 0 perché ha zero nodi in entrata
- Spingiamo il nodo 0 nello stack e passiamo al nodo successivo che ha un numero minimo di nodi adiacenti, ovvero il nodo 1.
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Passo 2:
- In questo passaggio, poiché non ci sono adiacenti a questo nodo, spingi il nodo 1 nello stack e passa al nodo successivo.
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Passaggio 3:
- In questo passaggio, scegliamo il nodo 2 perché ha un numero minimo di nodi adiacenti dopo 0 e 1.
- Chiamiamo DFS per il nodo 2 e spingiamo tutti i nodi che attraversano il nodo 2 in ordine inverso.
- Quindi premi 3 e poi premi 2 .
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Passaggio 4:
- Ora chiamiamo DFS per il nodo 4
- Perché 0 e 1 sono già presenti nello stack, quindi inseriamo semplicemente il nodo 4 nello stack e torniamo.
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Passaggio 5:
- In questo passaggio, poiché tutti i nodi adiacenti di 5 sono già nello stack, inseriamo il nodo 5 nello stack e torniamo.
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Passaggio 6: Questo è il passaggio finale dell'ordinamento topologico in cui estraiamo tutti gli elementi dallo stack e li stampiamo in quest'ordine.
Di seguito è riportata l’implementazione dell’approccio di cui sopra:
C++ #include using namespace std; // Function to perform DFS and topological sorting void topologicalSortUtil(int v, vector >& agg, vettore & visitato, impilare & Stack) { // Contrassegna il nodo corrente come visitato visitato[v] = true; // Ricorre per tutti i vertici adiacenti for (int i : adj[v]) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj,visited, Stack); } // Spinge il vertice corrente nello stack che memorizza il risultato Stack.push(v); } // Funzione per eseguire l'ordinamento topologico void topologicalSort(vettore >& adj, int V) { pila Pila; // Impila per memorizzare il vettore dei risultati visitato(V, falso); // Chiama la funzione di supporto ricorsiva per memorizzare // Ordinamento topologico partendo da tutti i vertici uno per // uno per (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, Stack); } // Print contents of stack while (!Stack.empty()) { cout < < Stack.top() < < ' '; Stack.pop(); } } int main() { // Number of nodes int V = 4; // Edges vector > bordi = { { 0, 1 }, { 1, 2 }, { 3, 1 }, { 3, 2 } }; // Grafico rappresentato come un vettore di lista di adiacenza > agg(V); for (auto i: bordi) { adj[i[0]].push_back(i[1]); } cout < < 'Topological sorting of the graph: '; topologicalSort(adj, V); return 0; }
Giava import java.util.*; public class TopologicalSort { // Function to perform DFS and topological sorting static void topologicalSortUtil(int v, List > adj, booleano[] visitato, Stack stack) { // Contrassegna il nodo corrente come visitatovisited[v] = true; // Ricorre per tutti i vertici adiacenti for (int i : adj.get(v)) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj,visited, stack); } // Spinge il vertice corrente nello stack che memorizza il // risultato stack.push(v); } // Funzione per eseguire l'ordinamento topologico static void topologicalSort(List > adj, int V) { // Stack per memorizzare lo Stack dei risultati pila = nuova pila(); booleano[] visitato = nuovo booleano[V]; // Chiama la funzione di supporto ricorsiva per memorizzare // Ordinamento topologico partendo da tutti i vertici uno // uno per uno for (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack System.out.print( 'Topological sorting of the graph: '); while (!stack.empty()) { System.out.print(stack.pop() + ' '); } } // Driver code public static void main(String[] args) { // Number of nodes int V = 4; // Edges List > bordi = new ArrayList(); bordi.add(Arrays.asList(0, 1)); bordi.add(Arrays.asList(1, 2)); bordi.add(Arrays.asList(3, 1)); bordi.add(Arrays.asList(3, 2)); // Grafico rappresentato come elenco di adiacenze Elenco > adj = nuovo ArrayList(V); for (int i = 0; i < V; i++) { adj.add(new ArrayList()); } for (List i : bordi) { adj.get(i.get(0)).add(i.get(1)); } ordinamento topologico(agg, V); } }
Python3 def topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack): # Mark the current node as visited visited[v] = True # Recur for all adjacent vertices for i in adj[v]: if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Push current vertex to stack which stores the result stack.append(v) # Function to perform Topological Sort def topologicalSort(adj, V): # Stack to store the result stack = [] visited = [False] * V # Call the recursive helper function to store # Topological Sort starting from all vertices one by # one for i in range(V): if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Print contents of stack print('Topological sorting of the graph:', end=' ') while stack: print(stack.pop(), end=' ') # Driver code if __name__ == '__main__': # Number of nodes V = 4 # Edges edges = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]] # Graph represented as an adjacency list adj = [[] for _ in range(V)] for i in edges: adj[i[0]].append(i[1]) topologicalSort(adj, V) C# using System; using System.Collections.Generic; class Program { // Function to perform DFS and topological sorting static void TopologicalSortUtil(int v, List > adj, bool[] visitato, Stack stack) { // Contrassegna il nodo corrente come visitatovisited[v] = true; // Ricorre per tutti i vertici adiacenti foreach(int i in adj[v]) { if (!visited[i]) TopologicalSortUtil(i, adj,visited, stack); } // Spinge il vertice corrente nello stack che memorizza il // risultato stack.Push(v); } // Funzione per eseguire l'ordinamento topologico static void TopologicalSort(List > adj, int V) { // Stack per memorizzare lo Stack dei risultati pila = nuova pila (); bool[] visitato = new bool[V]; // Chiama la funzione di supporto ricorsiva per memorizzare // Ordinamento topologico partendo da tutti i vertici uno // uno per uno for (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) TopologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack Console.Write('Topological sorting of the graph: '); while (stack.Count>0) { Console.Write(stack.Pop() + ' '); } } // Codice driver static void Main(string[] args) { // Numero di nodi int V = 4; // Elenco dei bordi > bordi = nuova lista >{ nuova lista { 0, 1 }, nuova lista { 1, 2 }, nuova lista { 3, 1 }, nuova lista { 3, 2 } }; // Grafico rappresentato come elenco di adiacenze Elenco > agg = nuova Lista >(); for (int i = 0; i < V; i++) { adj.Add(new List ()); } foreach(Lista i negli archi) { adj[i[0]].Add(i[1]); } Ordinamento Topologico(agg, V); } }
Javascript // Function to perform DFS and topological sorting function topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack) { // Mark the current node as visited visited[v] = true; // Recur for all adjacent vertices for (let i of adj[v]) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Push current vertex to stack which stores the result stack.push(v); } // Function to perform Topological Sort function topologicalSort(adj, V) { // Stack to store the result let stack = []; let visited = new Array(V).fill(false); // Call the recursive helper function to store // Topological Sort starting from all vertices one by // one for (let i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack console.log('Topological sorting of the graph: '); while (stack.length>0) { console.log(stack.pop() + ' '); } } // Codice driver (() => { // Numero di nodi const V = 4; // Bordi const bordi = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]]; // Grafico rappresentato come una lista di adiacenze const adj = Array.from({ length: V }, () => []); for (let i di archi) { adj[i[0]].push (i[1]); } ordinamento topologico(agg, V })(); Produzione
Topological sorting of the graph: 3 0 1 2
Complessità temporale: O(V+E). L'algoritmo sopra è semplicemente DFS con uno stack aggiuntivo. Quindi la complessità temporale è la stessa di DFS
Spazio ausiliario: O(V). Lo spazio extra è necessario per lo stack
Ordinamento topologico utilizzando BFS:
C++ #include #include #include using namespace std; // Class to represent a graph class Graph { int V; // No. of vertices list * agg; // Puntatore a un array contenente // elenchi di adiacenza public: Graph(int V); // Costruttore void addEdge(int v, int w); // Funzione per aggiungere un bordo al grafico void topologicalSort(); // stampa un ordinamento topologico // del grafico completo }; Grafico::Grafico(int V) { questo->V = V; agg = nuova lista [V]; } void Graph::addEdge(int v, int w) { adj[v].push_back(w); // Aggiunge w all'elenco di v. } // Funzione per eseguire l'ordinamento topologico void Graph::topologicalSort() { // Crea un vettore per memorizzare il vettore in gradi di tutti i vertici in_grado(V, 0); // Attraversa gli elenchi di adiacenza per riempire in_degree di // vertici per (int v = 0; v < V; ++v) { for (auto const& w : adj[v]) in_degree[w]++; } // Create a queue and enqueue all vertices with // in-degree 0 queue Q; for (int i = 0; i < V; ++i) { if (in_degree[i] == 0) q.push(i); } // Initialize count of visited vertices int count = 0; // Create a vector to store topological order vector ordine_superiore; // Rimuovi dalla coda i vertici uno per uno dalla coda e accoda // i vertici adiacenti se in grado di adiacente diventa 0 while (!q.empty()) { // Estrai la parte anteriore della coda (o esegui la rimozione dalla coda) // e aggiungilo a ordine topologico int u = q.front(); q.pop(); top_order.push_back(u); // Itera attraverso tutti i nodi vicini // del nodo deaccodato u e diminuisce il loro grado // di 1 elenco ::iteratore itr; for (itr = adj[u].begin(); itr != adj[u].end(); ++itr) // Se in-degree diventa zero, aggiungilo alla coda if (--in_degree[*itr ] == 0) q.push(*itr); conta++; } // Controlla se c'è stato un ciclo if (count != V) { cout < < 'Graph contains cycle
'; return; } // Print topological order for (int i : top_order) cout < < i < < ' '; } // Driver code int main() { // Create a graph given in the above diagram Graph g(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); cout < < 'Following is a Topological Sort of the given ' 'graph
'; g.topologicalSort(); return 0; } Giava import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.Queue; // Class to represent a graph class Graph { private int V; // No. of vertices private ArrayList [] agg; // Elenco di adiacenze // rappresentazione del // grafico // Costruttore Graph(int V) { this.V = V; adj = nuovo ArrayList[V]; for (int i = 0; i < V; ++i) adj[i] = new ArrayList(); } // Function to add an edge to the graph void addEdge(int v, int w) { adj[v].add(w); // Add w to v’s list. } // Function to perform Topological Sort void topologicalSort() { // Create an array to store in-degree of all // vertices int[] inDegree = new int[V]; // Calculate in-degree of each vertex for (int v = 0; v < V; ++v) { for (int w : adj[v]) { inDegree[w]++; } } // Create a queue and enqueue all vertices with // in-degree 0 Queue q = nuova ListaCollegata(); for (int i = 0; i < V; ++i) { if (inDegree[i] == 0) q.add(i); } // Initialize count of visited vertices int count = 0; // Create an ArrayList to store topological order ArrayList topOrder = new ArrayList(); // Toglie dalla coda i vertici uno per uno dalla coda e // accoda i vertici adiacenti se nel grado di // adiacente diventa 0 while (!q.isEmpty()) { // Estrai la parte anteriore della coda e la aggiungi all' // ordine topologico int u = q.poll(); topOrder.add(u); conta++; // Itera attraverso tutti i nodi vicini del // nodo dequeued u e diminuisce il loro grado // di 1 for (int w : adj[u]) { // Se il grado diventa zero, lo aggiunge alla // coda if (--inGrado[w] == 0) q.add(w); } } // Controlla se c'era un ciclo if (count != V) { System.out.println('Il grafico contiene ciclo'); ritorno; } // Stampa l'ordine topologico per (int i : topOrder) System.out.print(i + ' '); } } // Codice driver public class Main { public static void main(String[] args) { // Crea un grafico indicato nel diagramma precedente Graph g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); System.out.println( 'Segue un ordinamento topologico del grafico dato'); g.ordinamentotopologico(); } } Python3 from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self, vertices): # Number of vertices self.V = vertices # Dictionary to store adjacency lists self.adj = defaultdict(list) def addEdge(self, u, v): # Function to add an edge to the graph self.adj[u].append(v) def topologicalSort(self): # Function to perform Topological Sort # Create a list to store in-degree of all vertices in_degree = [0] * self.V # Traverse adjacency lists to fill in_degree of vertices for i in range(self.V): for j in self.adj[i]: in_degree[j] += 1 # Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 q = [] for i in range(self.V): if in_degree[i] == 0: q.append(i) # Initialize count of visited vertices count = 0 # Create a list to store topological order top_order = [] # One by one dequeue vertices from queue and enqueue # adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while q: # Extract front of queue (or perform dequeue) # and add it to topological order u = q.pop(0) top_order.append(u) # Iterate through all its neighbouring nodes # of dequeued node u and decrease their in-degree # by 1 for node in self.adj[u]: # If in-degree becomes zero, add it to queue in_degree[node] -= 1 if in_degree[node] == 0: q.append(node) count += 1 # Check if there was a cycle if count != self.V: print('Graph contains cycle') return # Print topological order print('Topological Sort:', top_order) # Driver code if __name__ == '__main__': # Create a graph given in the above diagram g = Graph(6) g.addEdge(5, 2) g.addEdge(5, 0) g.addEdge(4, 0) g.addEdge(4, 1) g.addEdge(2, 3) g.addEdge(3, 1) print('Following is a Topological Sort of the given graph') g.topologicalSort() JavaScript // Class to represent a graph class Graph { constructor(V) { this.V = V; // No. of vertices this.adj = new Array(V); // Array containing adjacency lists for (let i = 0; i < V; i++) { this.adj[i] = []; } } // Function to add an edge to the graph addEdge(v, w) { this.adj[v].push(w); // Add w to v’s list. } // Function to perform Topological Sort topologicalSort() { // Create a array to store in-degree of all vertices let inDegree = new Array(this.V).fill(0); // Traverse adjacency lists to fill inDegree of vertices for (let v = 0; v < this.V; v++) { for (let w of this.adj[v]) { inDegree[w]++; } } // Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 let queue = []; for (let i = 0; i < this.V; i++) { if (inDegree[i] === 0) { queue.push(i); } } // Initialize count of visited vertices let count = 0; // Create an array to store topological order let topOrder = []; // One by one dequeue vertices from queue and enqueue // adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while (queue.length !== 0) { // Extract front of queue and add it to topological order let u = queue.shift(); topOrder.push(u); // Iterate through all its neighboring nodes // of dequeued node u and decrease their in-degree by 1 for (let w of this.adj[u]) { // If in-degree becomes zero, add it to queue if (--inDegree[w] === 0) { queue.push(w); } } count++; } // Check if there was a cycle if (count !== this.V) { console.log('Graph contains cycle'); return; } // Print topological order console.log('Topological Sort of the given graph:'); console.log(topOrder.join(' ')); } } // Driver code // Create a graph given in the above diagram let g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); console.log('Following is a Topological Sort of the given graph:'); g.topologicalSort(); //This code is contributed by Utkarsh Produzione
Following is a Topological Sort of the given graph 4 5 2 0 3 1
Complessità temporale:
La complessità temporale per la costruzione del grafo è O(V + E), dove V è il numero di vertici ed E è il numero di archi.
Anche la complessità temporale per eseguire l'ordinamento topologico utilizzando BFS è O(V + E), dove V è il numero di vertici ed E è il numero di spigoli. Questo perché ogni vertice e ogni bordo vengono visitati una volta durante l'attraversamento del BFS.
Complessità spaziale:
La complessità dello spazio per memorizzare il grafico utilizzando una lista di adiacenza è O(V + E), dove V è il numero di vertici ed E è il numero di archi.
Spazio aggiuntivo viene utilizzato per memorizzare i vertici in gradi, che richiedono spazio O (V).
Per l'attraversamento BFS viene utilizzata una coda, che può contenere al massimo V vertici. Pertanto, la complessità dello spazio per la coda è O(V).
Nel complesso, la complessità spaziale dell'algoritmo è O(V + E) a causa della memorizzazione del grafico, dell'array in gradi e della coda.
In sintesi, la complessità temporale dell'implementazione fornita è O(V + E), e anche la complessità spaziale è O(V + E).
Nota: Qui possiamo anche usare un array invece dello stack. Se viene utilizzato l'array, stampare gli elementi in ordine inverso per ottenere l'ordinamento topologico.
Vantaggi dell'ordinamento topologico:
- Aiuta nella pianificazione di attività o eventi in base alle dipendenze.
- Rileva i cicli in un grafico diretto.
- Efficiente per risolvere problemi con vincoli di precedenza.
Svantaggi dell'ordinamento topologico:
- Applicabile solo ai grafici aciclici diretti (DAG), non adatto ai grafici ciclici.
- Potrebbe non essere unico, possono esistere più ordinamenti topologici validi.
- Inefficiente per grafici di grandi dimensioni con molti nodi e spigoli.
Applicazioni dell'ordinamento topologico:
- Pianificazione delle attività e gestione dei progetti.
- Risoluzione delle dipendenze nei sistemi di gestione dei pacchetti.
- Determinazione dell'ordine di compilazione nei sistemi di compilazione del software.
- Rilevamento dei deadlock nei sistemi operativi.
- La programmazione dei corsi nelle università.
Articoli Correlati:
- Algoritmo di Kahn per l'ordinamento topologico
- Tutti i tipi topologici di un grafo aciclico diretto