DECOMPOSIZIONE DEI VALORI SINGOLARI (SVD)

La decomposizione dei valori singolari (SVD) di una matrice è una fattorizzazione di quella matrice in tre matrici. Ha alcune proprietà algebriche interessanti e fornisce importanti intuizioni geometriche e teoriche sulle trasformazioni lineari. Ha anche alcune importanti applicazioni nella scienza dei dati. In questo articolo cercherò di spiegare l’intuizione matematica dietro SVD e il suo significato geometrico.

Matematica dietro SVD:

L'SVD della matrice mxn A è dato dalla formula A = USigmaV^T

Dove:

IN: mxm matrice degli autovettori ortonormali di $AA^{T}$ .
IN ^T : trasposizione di a nxn matrice contenente gli autovettori ortonormali di .
: matrice diagonale con r elementi pari alla radice degli autovalori positivi di AAᵀ o Aᵀ A (entrambe le matrici hanno comunque gli stessi autovalori positivi).

Esempi

Trova l'SVD per la matrice A =
Per calcolare l'SVD, innanzitutto dobbiamo calcolare i valori singolari trovando gli autovalori di AA^{T}.

$A cdot A^{T} =egin{bmatrix} 3& 2 & 2 2& 3& -2 end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} 3 & 2 2 & 3 2 & -2 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 17 e 8 8 e 17 end{bmatrix}$

L'equazione caratteristica per la matrice sopra è:

$W - lambda I =0 A A^{T} - lambda I =0$

$lambda^{2} - 34 lambda + 225 =0$

= (lambda-25)(lambda -9)

quindi i nostri valori singolari sono: sigma_1 = 5 , ; sigma_2 = 3

Ora troviamo i vettori singolari destri, ovvero l'insieme ortonormale di autovettori di A ^T A. Gli autovalori di A ^T A sono 25, 9 e 0, e poiché A ^T A è simmetrico, sappiamo che gli autovettori saranno ortogonali.

Per lambda =25,

$A^{T}A - 25 cdot I = egin{bmatrix} -12 & 12& 2 12 & -12 & -2 2& -2 & -17 end{bmatrix}$

che può essere ridotto per riga a:

egin{bmatrix} 1& -1& 0 0& 0& 1 0& 0& 0 end{bmatrix}

Un vettore unitario nella sua direzione è:

$v_1 = egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}} 0 end{bmatrix}$

Allo stesso modo, per lambda = 9, l'autovettore è:

$v_2 =egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{18}} frac{-1}{sqrt{18}} frac{4}{sqrt{18}} end{bmatrice}$

Per il 3° autovettore, potremmo utilizzare la proprietà che è perpendicolare a v1 e v2 tale che:

$v_1^{T} v_3 =0 v_2^{T} v_3 =0$

Risolvere l'equazione precedente per generare il terzo autovettore

$v_3 = egin{bmatrix} a b c end{bmatrix} = egin{bmatrix} a -a -a/2 end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{ 2}{3} frac{-2}{3} frac{-1}{3} end{bmatrix}$

Ora calcoliamo U utilizzando la formula u_i = frac{1}{sigma} A v_i e questo dà U = $egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} &frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}& frac{-1 }{sqrt{2}} end{bmatrice}$ . Quindi, la nostra equazione SVD finale diventa:

$A = egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} &frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}& frac{ -1}{sqrt{2}} end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & 0& 0 0 & 3& 0 end{bmatrix} egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2 }}& frac{1}{sqrt{2}} &0 frac{1}{sqrt{18}}& frac{-1}{sqrt{18}} & frac{4} {sqrt{18}} frac{2}{3}&frac{-2}{3} &frac{1}{3} end{bmatrix}$

Applicazioni

Calcolo dello pseudo-inverso: La pseudo inversa o inversa di Moore-Penrose è la generalizzazione della matrice inversa che potrebbe non essere invertibile (come le matrici di basso rango). Se la matrice è invertibile, la sua inversa sarà uguale a Pseudo inversa ma esiste una pseudo inversa per la matrice che non è invertibile. È indicato con A ⁺ .

Suppose, we need to calculate the pseudo-inverse of a matrix M: Then, the SVD of M can be given as: Multiply both sides by M^{-1}.Multiply both side by V:Multiply by W^{-1}Since the W is the singular matrix, the inverse of W  is Multiply by

L'equazione precedente fornisce lo pseudo-inverso.

Risolvere un insieme di equazioni lineari omogenee (Mx =b): se b=0, calcola SVD e prendi qualsiasi colonna di V ^T associato ad un valore singolare (in IN ) pari a 0.

If , Multiply by

Dallo pseudo-inverso, lo sappiamo $M^{-1} = V L^{-1} U^{T}$

Quindi,

$x = V W^{-1} U^{T} b$

Rango, intervallo e spazio nullo:
- Il rango della matrice M può essere calcolato da SVD in base al numero di valori singolari diversi da zero.
- L'intervallo della matrice M è I vettori singolari di sinistra di U corrispondenti ai valori singolari diversi da zero.
- Lo spazio nullo della matrice M è I vettori singolari destri di V corrispondenti ai valori singolari azzerati.

$M = UWV^{T}$

Problema di adattamento della curva: La scomposizione dei valori singolari può essere utilizzata per ridurre al minimo l'errore minimo quadrato. Utilizza lo pseudo inverso per approssimarlo.
Oltre all'applicazione di cui sopra, la decomposizione dei valori singolari e la pseudo-inversa possono essere utilizzate anche nell'elaborazione del segnale digitale e nell'elaborazione delle immagini

Implementazione:

In questo codice proveremo a calcolare la scomposizione del valore singolare utilizzando Numpy e Scipy. Calcoleremo la SVD ed eseguiremo anche la pseudo-inversa. Alla fine, possiamo applicare SVD per comprimere l'immagine

Python3

# Imports> from> skimage.color> import> rgb2gray> from> skimage> import> data> import> matplotlib.pyplot as plt> import> numpy as np> from> scipy.linalg> import> svd> '''> Singular Value Decomposition> '''> # define a matrix> X> => np.array([[> 3> ,> 3> ,> 2> ], [> 2> ,> 3> ,> -> 2> ]])> print> (X)> # perform SVD> U, singular, V_transpose> => svd(X)> # print different components> print> (> 'U: '> , U)> print> (> 'Singular array'> , singular)> print> (> 'V^{T}'> , V_transpose)> '''> Calculate Pseudo inverse> '''> # inverse of singular matrix is just the reciprocal of each element> singular_inv> => 1.0> /> singular> # create m x n matrix of zeroes and put singular values in it> s_inv> => np.zeros(X.shape)> s_inv[> 0> ][> 0> ]> => singular_inv[> 0> ]> s_inv[> 1> ][> 1> ]> => singular_inv[> 1> ]> # calculate pseudoinverse> M> => np.dot(np.dot(V_transpose.T, s_inv.T), U.T)> print> (M)> '''> SVD on image compression> '''> cat> => data.chelsea()> plt.imshow(cat)> # convert to grayscale> gray_cat> => rgb2gray(cat)> # calculate the SVD and plot the image> U, S, V_T> => svd(gray_cat, full_matrices> => False> )> S> => np.diag(S)> fig, ax> => plt.subplots(> 5> ,> 2> , figsize> => (> 8> ,> 20> ))> curr_fig> => 0> for> r> in> [> 5> ,> 10> ,> 70> ,> 100> ,> 200> ]:> > cat_approx> => U[:, :r] @ S[> 0> :r, :r] @ V_T[:r, :]> > ax[curr_fig][> 0> ].imshow(cat_approx, cmap> => 'gray'> )> > ax[curr_fig][> 0> ].set_title(> 'k = '> +> str> (r))> > ax[curr_fig,> 0> ].axis(> 'off'> )> > ax[curr_fig][> 1> ].set_title(> 'Original Image'> )> > ax[curr_fig][> 1> ].imshow(gray_cat, cmap> => 'gray'> )> > ax[curr_fig,> 1> ].axis(> 'off'> )> > curr_fig> +> => 1> plt.show()>

Produzione:

[[ 3 3 2]  [ 2 3 -2]] --------------------------- U: [[-0.7815437 -0.6238505]  [-0.6238505 0.7815437]] --------------------------- Singular array [5.54801894 2.86696457] --------------------------- V^{T} [[-0.64749817 -0.7599438 -0.05684667]  [-0.10759258 0.16501062 -0.9804057 ]  [-0.75443354 0.62869461 0.18860838]] -------------------------- # Inverse  array([[ 0.11462451, 0.04347826],  [ 0.07114625, 0.13043478],  [ 0.22134387, -0.26086957]]) ---------------------------