DERIVATO DI ARCTAN X: FORMULA, DIMOSTRAZIONE ED ESEMPI

Derivata della funzione arcotangente è indicato come abbronzatura ^-1 (x) o arctan(x). È uguale a 1/(1+x ² ) . Derivata della funzione arcotangente si trova determinando la velocità di variazione della funzione arco tan rispetto alla variabile indipendente. La tecnica per trovare le derivate delle funzioni trigonometriche è detta differenziazione trigonometrica.

Derivato di Arctan

In questo articolo impareremo a conoscere la derivata dell'arco tan x e la sua formula inclusa la dimostrazione della formula. Oltre a ciò, abbiamo anche fornito alcuni esempi risolti per una migliore comprensione.

Derivato di Arctan x

La derivata della funzione arcotangente o arctan(x) è 1/(1+x ² ). L'arco x rappresenta l'angolo la cui tangente è x. In altre parole, se y = arctan(x), allora tan(y) = x.

La derivata di una funzione può essere trovata utilizzando la regola della catena. Se hai una funzione composita come arctan(x), differenzia la funzione esterna rispetto alla funzione interna e poi moltiplica per la derivata della funzione interna.

Derivato di Arctan x Formula

La formula per la derivata dell'inverso di tan x è data da:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

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Inverso Funzione trigonometrica

Prova di derivazione di Arctan x

La derivata dell'inverso di tan x può essere dimostrata nei seguenti modi:

Utilizzando Regola di derivazione
Utilizzando Metodo di differenziazione implicita
Utilizzo dei primi principi dei derivati

Derivato di Arctan x dalla regola della catena

Per dimostrare la derivata di Arctan x mediante la regola della catena, utilizzeremo la formula trigonometrica di base e quella trigonometrica inversa:

sez ² y = 1 + abbronzatura ² E
tan(arctan x) = x

Ecco la dimostrazione della derivata di arctan x:

Supponiamo che y = arctan(x)

Prendendo l'abbronzatura su entrambi i lati otteniamo:

tan y = tan(arctan X)

tan y = x [come tan (arctan x) = x]

Ora differenzia entrambi i membri rispetto a x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [come d/dx(x) = 1]

Applicando la regola della catena per differenziare tan y rispetto a x otteniamo

d/dx(tan y) = sec ² y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/sec ² E

dy/dx = 1/ 1 + tan ² y [come sez ² y = 1 + abbronzatura ² E]

Ora sappiamo che tan y = x, sostituendo il valore nell'equazione sopra otteniamo

dy/dx = 1/ 1 + x ²

Derivato di Arctan x mediante il metodo di differenziazione implicita

La derivata di arctan x può essere dimostrato utilizzando il metodo della differenziazione implicita. Utilizzeremo le formule trigonometriche di base elencate di seguito:

sez ² x = ( 1 + tan ² X )

Se y = arctan x ⇒ x = marrone chiaro y e x ² = così ² E

Cominciamo la dimostrazione per la derivata di arctan x , assumiamo f(x) = y = arctan X

Con il metodo di differenziazione implicita

f(x) = y = arcotan X

⇒ x = abbronzatura y

Derivata su entrambi i membri rispetto a x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Moltiplicando e dividendo il membro di destra per dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = sec ² y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan ² y) [Come sez ² x = ( 1 + tan ² X )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan ² E )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x ² ) = f'(x)

Pertanto f'(x) = 1/ ( 1+x ² )

Derivato di Arctan x dal Primo Principio

Per dimostrare la derivata di arctan x utilizzando il primo principio della derivata, utilizzeremo i limiti di base e le formule trigonometriche elencate di seguito:

lim _h→0 arctan x/x = 1

arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Cominciamo la dimostrazione per la derivata di arctan x

abbiamo arctan(x) = y

Applichiamo la definizione di derivata che otteniamo

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

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Esempi sulla derivata di Arctan x

Esempio 1: Trova la derivata della funzione f(x) = arctan(3x).

Soluzione:

Utilizzeremo la regola della catena, la quale afferma che se g(x) è differenziabile in x e f(x) = arctan (g(x)), allora la derivata f'(x) è data da:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] ² )

In questo caso, g(x) = 3x, quindi g'(X) = 3. Applicando la formula della regola della catena:

f'(x) = 3/(1+(3x) ² )

f'(x) = 3/(1+9x ² )

Esempio 2: Trova la derivata della funzione h(x) = tan ^-1 (x/2)

Soluzione:

Utilizzeremo la regola della catena, secondo la quale f(x) = tan ^-1 (g(x)), allora la derivata f'(x) è data da:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] ² )

In questo caso, g(x) = x/2, quindi g'(X) = 1/2. Applicando la formula della regola della catena:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2) ² )

f'(x) = (1/2)/(1+x ² /4)

Semplificando otteniamo

f'(x) = 2/(4+x ² )

Esempio 3: Trova la derivata di f(x) = arctan (2x ² )

Soluzione:

Utilizzeremo la regola della catena, la quale afferma che se g(x) è differenziabile in x e f(x) = arctan (g(x)), allora la derivata f'(x) è data da:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] ² )

In questo caso, g(x) = 2x ² , quindi g'(X) = 4x.

Applicando la formula della regola della catena:

f'(x) = 4x/(1+(2x ² ) ² )

f'(x) = 4x/(1+4x ⁴ )

f'(x) = d/dx(arctan (2x ² )) = 4x/(1+4x ⁴ )

Domande pratiche sulla derivata di Arctan x

Q.1: Trova la derivata della funzione f(x) = x ² arcano (2x)

Q.2: Trova la derivata della funzione k(x) = arctan (X ³ +2x)

D.3: Trova la derivata della funzione p(x) = x arctan(x ² +1)

Q.4: Trova la derivata della funzione f(x) = arctan (x)/1+x

Q.5: Trova la derivata della funzione r(x) = arctan (4x)

Per saperne di più,

Derivata in matematica

Derivato dell'abbronzatura inversa x

Arctan

Derivato di Arctan x – Domande frequenti

Cos'è la derivata in matematica?

In matematica, le derivate misurano come cambia una funzione al variare del suo input (variabile indipendente). La derivata di una funzione f(x) è indicata come f'(x) o (d /dx)[f(x)].

Cos'è il derivato dell'abbronzatura ^-1 (X)?

Derivato dell'abbronzatura ^-1 (x) rispetto a x è 1/1+x ²

Qual è l'inverso dell'abbronzatura x?

Arctan è l'inverso della funzione tan ed è una delle funzioni trigonometriche inverse. È anche conosciuta come funzione arctan.

Cos'è la regola della catena in Arctan (X)?

La regola della catena è una regola di differenziazione. Per arctan (u), la regola della catena afferma che se f(x) = arctan(u), allora f'(x) = (1/1+u ² )× du/dx. Applicandolo a arctan(x), dove u=x, si ottiene 1/1+x ²