Legyenek A, B és C halmazok, és R reláció A-tól B-ig, S pedig B reláció C-ig. Vagyis R A × B részhalmaza, S pedig B × részhalmaza C. Ekkor R és S egy A-tól C-ig tartó relációt hoz létre, amelyet R◦S és a következőképpen definiál:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S  

Az R◦S összefüggés ismert R és S összetétele; néha egyszerűen RS-vel jelölik.

Legyen R egy A halmaz relációja, azaz R egy A halmazból önmagával való reláció. Ekkor mindig az R◦R, az R önmagával alkotott összetétele jelenik meg. Ezenkívül az R◦R-t néha R-vel jelölik ² . Hasonlóan R ³ = R ² ◦R = R◦R◦R és így tovább. Így R ⁿ minden pozitív n-re van definiálva.

1. példa: Legyen X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} és Z = {l, m, n}. Tekintsük az R összefüggést ₁ X-től Y-ig és R-ig ₂ Y-től Z-ig.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)}  

Keresse meg a reláció összetételét! (én) R ₁ az R ₂ (ii) R ₁ az R ₁ ^-1

Megoldás:

(i) Az R összetétel-reláció ₁ az R ₂ ábrán látható módon:

R ₁ az R ₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) Az R összetétel-reláció ₁ az R ₁ ^-1 ábrán látható módon:

R ₁ az R ₁ ^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Kapcsolatok és mátrixok összetétele

Van egy másik módja az R◦S megtalálásának. Legyen M _R és M _S jelölje rendre az R és S relációk mátrix reprezentációit. Ekkor

Példa

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR  

Megoldás: Az R és S reláció mátrixai a ábrán láthatók:

(i) Kapjuk meg az R és S reláció összetételét. Először szorozzuk meg M _R M-vel _S hogy megkapjuk az M mátrixot _R x M _S ábrán látható módon:

A nullától eltérő bejegyzések az M mátrixban _R x M _S elmondja az RoS-ben kapcsolódó elemeket. Így,

Ezért az R és S reláció R o S összetétele az

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.  

(ii) Először szorozzuk meg az M mátrixot _R ábrán látható módon önmagában

Ezért az R és S reláció R o R összetétele az

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}  

(iii) Szorozzuk meg az M mátrixot _S M-vel _R hogy megkapjuk az M mátrixot _S x M _R ábrán látható módon:

Az M mátrix nullától eltérő bejegyzései _S x M _R elmondja az S o R-ben kapcsolatos elemeket.

Ezért az S és R reláció S o R összetétele az

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.