Neka je L neprazan skup zatvoren na dvije binarne operacije koje se nazivaju susret i spajanje, označene s ∧ i ∨. Tada se L naziva rešetkom ako vrijede sljedeći aksiomi gdje su a, b, c elementi u L:

1) Komutativno pravo: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Asocijativni zakon:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Zakon apsorpcije: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Dvojnost:

Dual bilo kojeg iskaza u rešetki (L,∧ ,∨) je definiran kao iskaz koji je dobiven međusobnom izmjenom ∧ an ∨.

Na primjer , dual od a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a je a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Ograničene rešetke:

Rešetka L se naziva ograničenom rešetkom ako ima najveći element 1 i najmanji element 0.

Primjer:

1. Skup snaga P(S) skupa S pod operacijama presjeka i unije je ograničena rešetka budući da je ∅ najmanji element od P(S), a skup S je najveći element od P(S).
2. Skup +ve cijelog broja I ₊ pod uobičajenim redoslijedom od ≦ nije ograničena rešetka budući da ima najmanji element 1, ali najveći element ne postoji.

Svojstva ograničenih rešetki:

Ako je L ograničena rešetka, tada za svaki element a ∈ L imamo sljedeće identitete:

1. a ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Teorema: Dokažite da je svaka konačna rešetka L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ ....a _n } je ogranicen.

Dokaz: Zadali smo konačnu rešetku:

L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ ....a _n }

Dakle, najveći element rešetki L je a ₁ ∨ a ₂ ∨ a _{3∨....∨a n .}

Također, najmanji element rešetke L je a ₁ ∧ a ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _n .

Budući da najveći i najmanji element postoje za svaku konačnu rešetku. Dakle, L je ograničen.

Podrešetke:

Razmotrimo neprazan podskup L ₁ rešetke L. Tada je L ₁ naziva se podrešetka od L ako je L ₁ sama je rešetka tj. operacija L tj. a ∨ b ∈ L ₁ i a ∧ b ∈ L ₁ kad god je a ∈ L ₁ i b ∈ L ₁ .

Primjer: Razmotrimo mrežu svih +ve cijelih brojeva I ₊ pod operacijom djeljivosti. Rešetka D _n svih djelitelja od n > 1 je podrešetka od I ₊ .

Odredite sve podrešetke D ₃₀ koji sadrže najmanje četiri elementa, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Riješenje: Pod-rešetke D ₃₀ koji sadrže najmanje četiri elementa su sljedeći:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Izomorfne rešetke:

Dvije rešetke L ₁ i L ₂ nazivaju se izomorfne rešetke ako postoji bijekcija iz L ₁ do L ₂ tj. f: L ₁ ⟶ L ₂ , tako da je f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) i f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Primjer: Odredite jesu li rešetke prikazane na sl. izomorfne.

Riješenje: Rešetke prikazane na sl. su izomorfne. Razmotrimo preslikavanje f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Na primjer f (b ∧ c) = f (a) = 1. Također, mi imaju f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Distribucijska rešetka:

Rešetka L se naziva distributivna rešetka ako za bilo koje elemente a, b i c od L, zadovoljava sljedeća distributivna svojstva:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Ako rešetka L ne zadovoljava gornja svojstva, naziva se nedistributivnom rešetkom.

Primjer:

1. Skup snaga P (S) skupa S pod operacijom presjeka i unije je distributivna funkcija. Od,
   a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   i također a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) za bilo koje skupove a, b i c od P(S).
2. Rešetka prikazana na slici II je distributivna. Budući da zadovoljava distributivna svojstva za sve uređene trojke koje su uzete iz 1, 2, 3 i 4.

Komplementi i komplementirane rešetke:

Neka je L ograničena rešetka s donjom granicom o i gornjom granicom I. Neka je a element ako je L. Element x u L naziva se komplementom a ako je a ∨ x = I i a ∧ x = 0

Kaže se da je rešetka L komplementirana ako je L ograničena i svaki element u L ima komplement.

Primjer: Odredite komplement a i c na sl.

Riješenje: Komplement a je d. Budući da je a ∨ d = 1 i a ∧ d = 0

Komplement od c ne postoji. Budući da ne postoji nijedan element c takav da je c ∨ c'=1 i c ∧ c'= 0.

Modularna rešetka:

Rešetka (L, ∧,∨) se naziva modularna rešetka ako je a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c kad god je a ≦ c.

Izravni proizvod rešetki:

Neka (L ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ ) i (L ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) biti dvije rešetke. Tada je (L, ∧,∨) izravni umnožak rešetki, gdje je L = L ₁ x L ₂ u kojoj su binarne operacije ∨(spoj) i ∧(susret) na L takve da za bilo koji (a ₁ ,b ₁ ) i (a ₂ ,b ₂ ) u L.

(a ₁ ,b ₁ )∨( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∨ ₁ a ₂ ,b ₁ ∨ ₂ b ₂ )
i (a ₁ ,b ₁ ) ∧ (a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∧ ₁ a ₂ ,b ₁ ∧ ₂ b ₂ ).

Primjer: Razmotrimo rešetku (L, ≦) kao što je prikazano na sl. gdje je L = {1, 2}. Odredite rešetke (L ² , ≦), gdje je L ² =D x L.

Riješenje: Rešetka (L ² , ≦) prikazano je na slici: