Matematiikassa eksponentti- ja potenssitermejä käytetään, kun luku kerrotaan itsestään tietyllä määrällä kertoja. Esimerkiksi 4 × 4 × 4= 64. Tämä voidaan kirjoittaa myös lyhyessä muodossa 4 ³ = 64. Tässä, 4 ³ tarkoittaa, että luku 4 kerrotaan itsellään kolmella ja lyhyt muoto 4 ³ on eksponentiaalinen lauseke. Luku 4 on kantaluku, kun taas luku 3 on eksponentti ja luemme annettu eksponentiaalinen lauseke 4:ksi korotettuna 3:n potenssiin. Eksponentiaalisessa lausekkeessa kanta on kerroin, joka kerrotaan toistuvasti itsellään, kun taas eksponentti on kuinka monta kertaa tekijä esiintyy.

Eksponenttien ja potenssien määritelmä

Jos luku kerrotaan itsellään n kertaa , tuloksena oleva lauseke tunnetaan nimellä n. teho annetusta numerosta. Eksponentin ja potenssin välillä on hyvin ohut ero. Eksponentti on kuinka monta kertaa tietty luku on kerrottu itsestään, kun taas potenssi on eksponenttiin korotetun perusluvun tulon arvo. Lukujen eksponentiaalisen muodon avulla voimme ilmaista kätevämmin erittäin suuria ja pieniä lukuja. Esimerkiksi 100000000 voidaan ilmaista muodossa 1 × 10 ⁸ , ja 0,0000000000013 voidaan ilmaista muodossa 13 × 10 ^-13 . Tämä tekee numeroista helpompia lukea, auttaa säilyttämään niiden tarkkuuden ja säästää myös aikaa.

Eksponenttien ja potenssien säännöt

Eksponenttien ja potenssien säännöt selittävät, kuinka eksponenteja lasketaan, vähennetään, kerrotaan ja jaetaan sekä kuinka ratkaistaan ​​erilaisia ​​matemaattisia yhtälöitä, joissa on mukana eksponentit ja potenssit.

Sääntö 1: Eksponenttien tuotelaki

Tämän lain mukaan, kun eksponentit, joilla on sama kanta, kerrotaan, eksponentit lasketaan yhteen.

Eksponenttien tuotelaki: a ^m × a ⁿ =a ^(m+n)

Sääntö 2: Eksponenttien osamääräsääntö

Tämän lain mukaan, jotta voimme jakaa kaksi eksponenttia, joilla on sama kanta, meidän on vähennettävä eksponentit.

Eksponenttien osamääräsääntö: a ^m /a ⁿ =a ^(m–n)

Sääntö 3: Tehosäännön voima

Tämän lain mukaan, jos eksponentiaalinen luku nostetaan toiseen potenssiin, potenssit kerrotaan.

Tehosäännön teho: (a ^m ) ⁿ =a ^{(m × n)}

Sääntö 4: Tuotesäännön teho

Tämän lain mukaan meidän on kerrottava eri kannat ja nostettava sama eksponentti emästen tuloon.

Tuotesäännön teho: a ^m × b ^m =(a × b) ^m .

Sääntö 5: Osamääräsäännön voima

Tämän lain mukaan meidän on jaettava eri kantakannat ja nostettava sama eksponentti kantajen osamäärään.

Osamääräsäännön teho: a ^m ÷ b ^m =(a/b) ^m

Sääntö 6: Nolla eksponentti sääntö

Tämän lain mukaan, jos nollan potenssiin korotetun kannan arvo on 1.

Nollaeksponenttisääntö: a ⁰ =1

Sääntö 7: Negatiivisen eksponentin sääntö

Tämän lain mukaan, jos eksponentti on negatiivinen, vaihdetaan eksponentti positiiviseksi ottamalla eksponentiaalisen luvun käänteisluku.

Negatiivisen eksponentin sääntö: a ^-m = 1/a ^m

Sääntö 8: Murtoeksponenttisääntö

Tämän lain mukaan, kun meillä on murto-eksponentti, se johtaa radikaaleihin.

Murtoeksponenttisääntö: a ^(1/n) = ⁿ √a

a ^(m/n) = ⁿ √a ^m

Mitä 10 tarkoittaa 4:n potenssilla?

Ratkaisu:

Lasketaan arvo 10 neljänteen keskiarvoon eli 10:een ⁴

Tiedämme, että eksponentin potenssisäännön mukaan

a ^m = a × a × a… m kertaa

Siksi voimme kirjoittaa 10 ⁴ kuten 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

Siksi,

10:n arvo nostettuna potenssiin 4, eli 10 ⁴ on 10 000.

Esimerkkiongelmat

Tehtävä 1: Etsi 3:n arvo ⁶ .

Ratkaisu:

Annettu lauseke on 3 ⁶ .

Annetun eksponentiaalilausekkeen kanta on 3, kun taas eksponentti on 6, eli annettu lauseke luetaan, kun 3 nostetaan potenssiin 6.

Joten laajentamalla 3 ⁶ , saamme 3 ⁶ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Siksi arvo 3 ⁶ on 729.

Tehtävä 2: Määritä lausekkeen (12) eksponentti ja potenssi ⁵ .

Ratkaisu:

Annettu lauseke on 12 ⁵ .

Annetun eksponentiaalilausekkeen kanta on 12, kun taas eksponentti on 5, eli annettu lauseke luetaan, kun 12 nostetaan 5:n potenssiin.

Tehtävä 3: Arvioi (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ .

Ratkaisu:

Annettu: (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷

Tiedämme, että a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)}

Eli (2/7) ^-5 ×(2/7) ⁷ = (2/7) ^(-5+7)

= (2/7) ² = 4/49

Siksi (2/7) ^-5 × (2/7) ⁷ = 4/49

Tehtävä 4: Etsi x:n arvo annetusta lausekkeesta: 5 ^3x-2 = 625.

Ratkaisu:

Annettu, 5 ^3x-2 = 625.

5 ^3x-2 = 5 ⁴

Vertaamalla samankaltaisen kannan eksponenttia saamme

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Siten x:n arvo on 2.

Tehtävä 5: Etsi k:n arvo annetusta lausekkeesta: (-2/3) ⁴ 23) ^-viisitoista = (23) ^7k+3

Ratkaisu:

Annettu,

(-23) ⁴ 23) ^-viisitoista = (23) ^7k+3

23) ⁴ 23) ^-viisitoista = (23) ^7k+3 {Koska (-x) ⁴ = x ⁴ }

Tiedämme, että a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)}

23) ^4-15 = (2/3)7k+3

23) ^-yksitoista = (23) ^7k+3

Vertaamalla samankaltaisen kannan eksponenttia saamme

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Siten k:n arvo on -2.