Trigonometrinen substituutio on yksi integroinnin korvausmenetelmistä, jossa annetussa integraalissa oleva funktio tai lauseke korvataan trigonometrisilla funktioilla, kuten sin, cos, tan jne. Integrointi substituutiolla on helpoin korvausmenetelmä.

Sitä käytetään, kun korvataan funktio, jonka derivaatta sisältyy jo annettuun integraalifunktioon. Tällä funktio yksinkertaistuu ja saadaan yksinkertaiset integraalifunktiot, jotka voimme integroida helposti. Se tunnetaan myös nimellä u-substituutio tai käänteisketjusääntö. Tai toisin sanoen tällä menetelmällä voimme helposti arvioida integraaleja ja antiderivaatteja.

Trigonometrinen korvaaminen

Mikä on trigonometrinen substituutio?

Trigonometrinen substituutio on prosessi, jossa tapahtuu trigonometrisen funktion korvaaminen toisella lausekkeella. Sitä käytetään integraalien arvioimiseen tai se on menetelmä löytää antiderivaatat funktioista, jotka sisältävät neliöjuuria neliöjuuria tai muodon rationaalista potenssia frac{p}{2} (jossa p on kokonaisluku) toisen asteen lausekkeita. Esimerkkejä tällaisista ilmaisuista ovat

({x^2+4})^frac{3}{2} tai sqrt{25-x^2} tai jne.

Trigonometrisen substituution menetelmää voidaan käyttää, kun muut yleisemmät ja helpommin käytettävät integrointimenetelmät ovat epäonnistuneet. Trigonometrinen substituutio olettaa, että tunnet standardit trigonometriset identiteetit, differentiaalimerkinnän käytön, integroinnin u-substituutiolla ja trigonometristen funktioiden integroinnin.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Tässä keskustelemme joistakin tärkeistä kaavoista riippuen integroitavasta funktiosta, korvaamme yhden seuraavista trigonometrisista lausekkeista integroinnin yksinkertaistamiseksi:

∫cosx dx = sinx + C

∫sinx dx = −cosx + C

∫sek ² x dx = tanx + C

∫ kosek ² x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Lue tarkemmin: Laskeminen matematiikassa

Milloin trigonometristä korvaamista käytetään?

Käytämme trigonometristä korvaamista seuraavissa tapauksissa:

Kuinka soveltaa trigonometristä korvausmenetelmää?

Voimme soveltaa trigonometristä korvausmenetelmää, kuten alla käsitellään,

Integroitu a ² – x ²

Tarkastellaan esimerkkiä integraalista, joka sisältää a ² – x ² .

Esimerkki: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Laitetaan, x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Eli minä = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I = int 1. d heta

⇒ I = θ + c

As, x = a sinθ

⇒ θ = sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I = sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integraali x:n kanssa ² + a ²

Tarkastellaan esimerkkiä integraalista, joka sisältää x:n ² + a ² .

Esimerkki: Etsi integraali old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Ratkaisu:

Laitetaan x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, saamme

Eli minä = int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I = frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I = frac{1}{a} heta + c

As, x = a tanθ

⇒ θ = tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I = frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integroitu a ² + x ² .

Tarkastellaan esimerkkiä integraalista, joka sisältää a ² + x ² .

Esimerkki: Etsi integraali old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Ratkaisu:

Laitetaan, x = a tanθ

⇒ dx = sekunti ² θ dθ

Eli minä = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I = int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I = log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I = log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I = log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integraali x:n kanssa ² – a ² .

Tarkastellaan esimerkkiä integraalista, joka sisältää x:n ² – a ² .

Esimerkki: Etsi integraali old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Laitetaan, x = sekuntiθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Eli minä = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I = int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I = log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ I = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ I = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Lue lisää,

• Integrointikaavat
• Integrointi korvaamalla
• Integrointi osien mukaan

Esimerkkiongelmia trigonometrisesta substituutiosta

Tehtävä 1: Etsi integraali old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Ratkaisu:

Ottaen 5 yhteistä nimittäjää,

⇒ I = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Lauseen 1 mukaan a = frac{3}{5}

⇒ I = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ I = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Tehtävä 2: Etsi integraali old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Ratkaisu:

Ottaen √2 yhteisen nimittäjän,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Lauseen 1 mukaan a = 2

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Tehtävä 3: Etsi integraali old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Ratkaisu:

Järjestämällä uudelleen saamme

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Tässä otetaan a = 3 ja x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Korvaa nämä arvot,

minä = int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Otetaan,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Korvaamalla nämä arvot, saamme

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243 inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243 inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243 [frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ ja x = 3 sinθ

⇒ cos θ = sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ = sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ = (1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Näin ollen I = -243 [frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Tehtävä 4: Etsi integraali old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Ratkaisu:

Ottaen 9 yhteistä nimittäjää,

minä = frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I = frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Lauseen 2 mukaan a = frac{2}{3}

⇒ I = frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I = frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Tehtävä 5: Etsi integraali old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Ratkaisu:

Ottaen 4 yhteistä nimittäjää,

minä = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Lauseen 3 mukaan a = frac{5}{4}

⇒ I = frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I = frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ I = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Tehtävä 6: Etsi integraali old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Ratkaisu:

Ottaen 2 yhteistä nimittäjää,

minä = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

minä = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Lauseen 4 mukaan a = frac{3}{2}

minä = frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

minä = frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

minä = frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

minä = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

minä = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Tehtävä 7: Etsi integraali old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Ratkaisu:

Järjestyksen jälkeen saamme

minä = int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

minä = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

minä = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

minä = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Lauseen 2 mukaan meillä on

x = x- frac{1}{2} ja a = frac{sqrt{3}}{2}

minä = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

minä = frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrinen korvaaminen – UKK

Mikä on trigonometrinen substituutio?

Trigonometrinen substituutio on integrointitekniikka, jota käytetään ratkaisemaan integraalit, jotka sisältävät lausekkeita radikaaleilla ja neliöjuurilla, kuten √(x ² + a ² ), √(a ² + x ² ), ja √(x ² – a ² ).

Milloin minun pitäisi käyttää trigonometrista korvaamista?

Trigonometrinen substituutio on hyödyllinen, kun sinulla on integraali, joka sisältää radikaalilausekkeen, varsinkin kun radikaalilauseke sisältää neliötermin.

Mitä kolmea trigonometristä substituutiota käytetään yleisesti integraaleissa?

Kolme yleisesti käytettyä trigonometristä substituutiota ovat:

• Korvaa x = a sin θ, kun radikaalilauseke sisältää termin, joka on muotoa a ² – x ² .
• Korvaa x = tan θ, kun radikaalilauseke sisältää termin muotoa x ² – a ² .
• Korvaa x = a sec θ, kun radikaalilauseke sisältää termin muotoa x ² + a ² .

Kuinka kukaan valitsee käytettävän trigonometrisen korvauksen?

Sinun tulee valita trigonometrinen substituutio radikaalilausekkeen muodon perusteella. Jos radikaalilauseke sisältää termin muodossa a^2 – x^2, käytä x = a sin θ. Jos radikaalilauseke sisältää termin muodossa x^2 – a^2, käytä x = a tan θ. Jos radikaalilauseke sisältää termin muodossa x^2 + a^2, käytä x = a sec θ.