Summauskaava
Matematiikassa summaus on minkä tahansa lukujonon peruslisäys, jota kutsutaan lisäyksiksi tai summauksiksi; tulos on niiden summa tai kokonaissumma. Matematiikassa luvut, funktiot, vektorit, matriisit, polynomit ja yleensä minkä tahansa matemaattisen objektin elementit voidaan liittää toimintoon, jota kutsutaan yhteenlaskuksi/summaamiseksi ja jota merkitään +.
Eksplisiittisen sekvenssin summaamista kutsutaan lisäysten peräkkäiseksi. Esimerkiksi (1, 3, 4, 7) summa voi olla 1 + 3 + 4 + 7, ja yllä olevan merkinnän tulos on 15, eli 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Koska summausoperaatio on sekä assosiatiivinen että kommutatiivinen, sulkuja ei tarvita listattaessa sarjaa/sekvenssiä, ja tulos on sama riippumatta summan järjestyksestä.
Sisällysluettelo
- Mikä on summauskaava?
- Missä summauskaavaa käytetään?
- Summauksen ominaisuudet
- Vakiosummauskaavat
- Esimerkki summauskaavasta
- Usein kysytyt kysymykset summauskaavasta
Mikä on summauskaava?
Summaatio tai sigma (∑) on menetelmä, jolla kirjoitetaan pitkä summa ytimekkäästi. Tämä merkintä voidaan liittää mihin tahansa kaavaan tai funktioon.
Esimerkiksi, i=1 ∑ 10 (i) on sigma-merkintä äärellisen sekvenssin 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 summauksesta, jossa ensimmäinen alkio on 1 ja viimeinen alkio on 10.
Summauskaavat
Missä summauskaavaa käytetään?
Summaatiomerkintää voidaan käyttää useilla matematiikan aloilla:
- Jakso sarjassa
- Liittäminen
- Todennäköisyys
- Permutaatio ja yhdistelmä
- Tilastot
Huomautus: Summaus on lyhyt muoto toistuvasta summauksesta. Voimme myös korvata summauksen summaussilmukalla.
Summauksen ominaisuudet
Kiinteistö 1
i=1 ∑ n c = c + c + c + …. + c (n) kertaa = nc
Esimerkki: Etsi arvo i=1 ∑ 4 c.
Käyttämällä ominaisuutta 1 voimme suoraan laskea arvon i=1 ∑ 4 c kuin 4 × c = 4c.
Kiinteistö 2
c = 1 ∑ n kc = (k × 1) + (k × 2) + (k × 3) + …. + (k × n) …. (n) kertaa = k × (1 + … + n) = k c = 1 ∑ n c
Esimerkki: Etsi arvo i=1 ∑ 4 5i.
Käyttämällä ominaisuuksia 2 ja 1 voimme suoraan laskea arvon i= 1 ∑ 4 5i kuin 5 × i=1 ∑ 4 i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.
Kiinteistö 3
c = 1 ∑ n (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n)…. (n) kertaa = (n × k) + (1 + … + n) = nk + c = 1 ∑ n c
Esimerkki: Etsi arvo i=1 ∑ 4 (5+i).
Käyttämällä ominaisuuksia 2 ja 3 voimme suoraan laskea arvon i=1 ∑ 4 (5+i) kuten 5×4+ i=1 ∑ 4 i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.
Kiinteistö 4
k = 1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k = 1 ∑ n f(k) + k = 1 ∑ n g(k)
Esimerkki: Etsi arvo i=1 ∑ 4 (i + i 2 ).
Käyttämällä ominaisuutta 4 voimme suoraan laskea arvon i=1 ∑ 4 (i + i 2 ) kuten i=1 ∑ 4 minä + i=1 ∑ 4 i 2 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.
Vakiosummauskaavat
Erilaisia summauskaavoja ovat,
Ensimmäisen n luonnollisen luvun summa: (1+2+3+…+n) = i=1 ∑ n (i) = [n × (n +1)]/2
Ensimmäisen n luonnollisen luvun neliön summa: (1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 ) = i=1 ∑ n (ts 2 ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6
Ensimmäisen n luonnollisen luvun kuution summa: (1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 ) = i=1 ∑ n (ts 3 ) = [n 2 ×(n +1) 2 )]/4
Ensimmäisen n parillisen luonnollisen luvun summa: (2+4+…+2n) = i=1 ∑ n (2i) = [n × (n +1)]
Ensimmäisen n parittoman luonnollisen luvun summa: (1+3+…+2n-1) = i=1 ∑ n (2i-1) = n 2
Ensimmäisen n parillisen luonnollisen luvun neliön summa: (2 2 +4 2 +…+(2n) 2 ) = i=1 ∑ n (2i) 2 = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
Ensimmäisen n parittoman luonnollisen luvun neliön summa: (1 2 +3 2 +…+(2n-1) 2 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 2 = [n(2n+1)(2n-1)] / 3
Ensimmäisen n parillisen luonnollisen luvun kuution summa: (2 3 +4 3 +…+(2n)3) = i=1 ∑ n (2i) 3 = 2[n(n+1)] 2
Ensimmäisen n parittoman luonnollisen luvun kuution summa: (1 3 +3 3 +…+(2n-1) 3 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 3 = n 2 (2n 2 - 1)
Aiheeseen liittyvät artikkelit:
- Luonnollisten lukujen summa
- Summa matematiikassa
- Aritmeettiset operaatiot
- Aritmeettinen ja geometrinen eteneminen
Esimerkki summauskaavasta
Esimerkki 1: Etsi 10 ensimmäisen luonnollisen luvun summa summauskaavalla.
Ratkaisu:
Summauskaavan käyttäminen luonnollisen luvun n summalle i=1 ∑ n (i) = [n × (n +1)]/2
Meillä on 10 ensimmäisen luonnollisen luvun summa = i=1 ∑ 10 (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55
Esimerkki 2: Etsi 10 ensimmäisen luonnollisen luvun summa, joka on suurempi kuin 5, käyttämällä summauskaavaa.
Ratkaisu:
Kysymyksen mukaan:
10 ensimmäisen luonnollisen luvun summa, joka on suurempi kuin 5 = i = 6 ∑ viisitoista (i)
= i=1 ∑ viisitoista (i) – i=1 ∑ 5 (i)
= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2
= 120-15
= 105
Esimerkki 3: Etsi annetun äärellisen sekvenssin 1 summa 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 .
Ratkaisu:
Annettu järjestys on 1 2 + 2 2 + 3 2 +…8 2 , se voidaan kirjoittaa muodossa i=1 ∑ 8 i 2 käyttämällä summauksen ominaisuutta/kaavaa
i=1 ∑ 8 i 2 = [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6
= 204
Esimerkki 4: Yksinkertaista c = 1 ∑ n kc.
Ratkaisu:
Annettu summauskaava = c = 1 ∑ n kc
= (k × 1) + (k × 2) + …… + (k × n) (n termiä)
= k (1 + 2 + 3 +….. + n)
c = 1 ∑ n kc = k c = 1 ∑ n c
Esimerkki 5: Yksinkertaista ja arvioi x =1 ∑ n (4+x).
Ratkaisu:
Annettu summa on x=1 ∑ n (4+x)
Kuten me sen tiedämme c = 1 ∑ n (k+c) = nk+ c = 1 ∑ n c
Annettu summaus voidaan yksinkertaistaa mm.
4n+ x=1 ∑ n (x)
Esimerkki 6: Yksinkertaista x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
Ratkaisu:
Annettu summa on x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
kuten me sen tiedämme k = 1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k = 1 ∑ n f(k) + k = 1 ∑ n g(k)
annettu summa voidaan yksinkertaistaa x=1 ∑ n (2x) + x=1 ∑ n (x 2 ).
Usein kysytyt kysymykset summauskaavasta
Mikä on luonnonlukujen summauskaava?
Luonnollisten lukujen summa välillä 1 - n saadaan kaavalla n (n + 1) / 2. Esimerkiksi 100 ensimmäisen luonnollisen luvun summa on 100 (100 + 1) / 2 = 5050.
Mikä on yleinen summauskaava?
Yleinen summauskaava, jota käytetään jonon {a summan löytämiseen 1 , a 2 , a 3 ,…,a n } On, ∑a i = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
Kuinka käytät ∑?
∑ on summauksen symboli ja sitä käytetään sarjan summan löytämiseen.
Mikä on n summauksen kaava?
n luonnollisen luvun summan kaava on, n luvun summan kaava on [n(n+1)2]
