PROPOSITIOLOGIIKKA

Propositiologiikka on matematiikan haara, joka tutkii lauseiden (tai väitteiden, lauseiden, väitteiden) välisiä loogisia suhteita kokonaisuutena tarkasteltuna ja loogisten konnektiivien kautta yhdistettynä.

Tässä artikkelissa olemme käsitelleet yksityiskohtaisesti ehdotuslogiikkaa ja siihen liittyviä aiheita.

Sisällysluettelo

Mikä on logiikka?
Propositiologiikka
Totuustaulukko

1. Negaatio
2. Konjunktio
3. Disjunktio
4. Yksinomainen Or
5. Implisaatio
6. Kaksiehtoinen tai kaksoisimplikaatio

Mikä on logiikka?

Logiikka on kaiken matemaattisen päättelyn ja kaiken automaattisen päättelyn perusta. Logiikan säännöt määrittelevät matemaattisten lauseiden merkityksen. Nämä säännöt auttavat meitä ymmärtämään ja perustelemaan väitteitä, kuten -

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Mikä yksinkertaisella englannin kielellä tarkoittaa On olemassa kokonaisluku, joka ei ole kahden neliön summa .

Matemaattisen logiikan merkitys

Logiikan säännöt antavat matemaattisille väitteille tarkan merkityksen. Näitä sääntöjä käytetään erottamaan kelvolliset ja virheelliset matemaattiset argumentit. Sen lisäksi, että logiikalla on merkitys matemaattisen päättelyn ymmärtämisessä, sillä on lukuisia sovelluksia tietojenkäsittelytieteessä, jotka vaihtelevat digitaalisten piirien suunnittelusta tietokoneohjelmien rakentamiseen ja ohjelmien oikeellisuuden tarkistamiseen.

Mikä on ehdotus? Ehdotus on logiikan perusrakennuspalikka. Se määritellään deklaratiiviseksi lauseeksi, joka on joko tosi tai epätosi, mutta ei molempia. The Totuuden arvo lause on Tosi (merkitty T), jos se on tosi, ja False (merkitty F), jos se on väärä väite. Esimerkiksi,

Aurinko nousee idässä ja laskee lännessä.
1 + 1 = 2
'b' on vokaali.

Kaikki yllä olevat lauseet ovat lauseita, joista kaksi ensimmäistä ovat kelvollisia (tosi) ja kolmas on Invalid (False). Jotkut lauseet, joilla ei ole totuusarvoa tai joilla voi olla useampi kuin yksi totuusarvo, eivät ole väitteitä. Esimerkiksi,

Paljonko kello on?
Mene ulos leikkimään
x + 1 = 2

Yllä olevat lauseet eivät ole väitteitä, koska kahdella ensimmäisellä ei ole totuusarvoa, ja kolmas voi olla tosi tai epätosi. Edustaakseen ehdotuksia, propositionaaliset muuttujat käytetään. Sopimuksen mukaan näitä muuttujia edustavat pienet aakkoset, kuten p,:q,:r,:s . Logiikka-aluetta, joka käsittelee väitteitä, kutsutaan propositiolaskenta tai propositionaalinen logiikka . Se sisältää myös uusien ehdotusten tekemisen olemassa olevien ehdotusten avulla. Propositiot, jotka on rakennettu käyttämällä yhtä tai useampaa lausetta, kutsutaan yhdistetyt ehdotukset . Ehdotukset yhdistetään käyttämällä Loogiset liitännät tai Loogiset operaattorit .

Propositiologiikka

Totuustaulukko

Koska meidän on tiedettävä lauseen totuusarvo kaikissa mahdollisissa skenaarioissa, harkitsemme kaikkia mahdollisia lauseiden yhdistelmiä, jotka liitetään yhteen loogisilla konnektiiveilla muodostamaan tietyn yhdistetyn lauseen. Tätä kaikkien mahdollisten skenaarioiden kokoelmaa taulukkomuodossa kutsutaan a totuustaulukko . Yleisimmät loogiset liitännät -

1. Negaatio

Jos p on ehdotus, sitten negatiivinen p on merkitty eg p , joka yksinkertaiseksi englanniksi käännettynä tarkoittaa- Se ei pidä paikkaansa s tai yksinkertaisesti ei s . Totuusarvo -s on totuusarvon vastakohta s . Totuustaulukko -s On:

s	¬p
T	F
F	T

Esimerkki, Kielto: Tänään sataa, on Ei ole niin, että tänään sataa tai yksinkertaisesti Ei sataa tänään.

2. Konjunktio

Kaikille kahdelle ehdotukselle p ja q , niiden yhtymä on merkitty pwedge q , joka tarkoittaa p ja q . Yhteys pwedge q on totta, kun molemmat p ja q ovat totta, muuten vääriä. Totuustaulukko pwedge q On:

s	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Esimerkki, Ehdotusten konjunktio p – Tänään on perjantai ja q - Tänään sataa, pwedge q on Tänään on perjantai ja tänään sataa vettä. Tämä väite pätee vain sateisina perjantaisin ja on väärä muina sateisina päivinä tai perjantaisin, jolloin ei sataa.

3. Disjunktio

Kaikille kahdelle ehdotukselle p ja q , niiden disjunktio on merkitty pvee q , joka tarkoittaa p tai q . Disjunktio pvee q on totta, kun jompikumpi p tai q on totta, muuten epätosi. Totuustaulukko pvee q On:

s	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Esimerkki, Ehdotusten disjunktio p – Tänään on perjantai ja q - Tänään sataa, pvee q on Tänään on perjantai tai tänään sataa. Tämä väite pätee kaikkina päivinä, jotka ovat perjantai tai sadepäivä (mukaan lukien sateiset perjantait), ja se on virheellinen kaikkina muina päivinä kuin perjantaina, jolloin ei myöskään sataa.

4. Yksinomainen Or

Kaikille kahdelle ehdotukselle p ja q , niiden poissulkeva tai on merkitty poplus q , mikä tarkoittaa joko p tai q mutta ei molempia. Yksinomainen tai poplus q on totta, kun jompikumpi p tai q on tosi ja epätosi, kun molemmat ovat tosia tai molemmat ovat epätosi. Totuustaulukko poplus q On:

s	q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Esimerkki, Yksinomainen tai ehdotuksista p – Tänään on perjantai ja q - Tänään sataa, poplus q on Joko tänään on perjantai tai tänään sataa, mutta ei molempia. Tämä väite pätee kaikkina päivinä, jotka ovat perjantai tai sadepäivä (ei lukien sateiset perjantait), ja se on virheellinen kaikkina muina päivinä kuin perjantaina, jolloin ei sataa, tai sateisina perjantaisin.

5. Implisaatio

Kaikille kahdelle ehdotukselle p ja q , lausunto jos p sitten q kutsutaan implikaatioksi ja sitä merkitään p ightarrow q . implikaatiossa p ightarrow q , p kutsutaan nimellä hypoteesi tai edeltäjä tai lähtökohta ja q kutsutaan nimellä johtopäätös tai seurauksena . Seurauksena on p ightarrow q kutsutaan myös a ehdollinen lausunto . Viittaus on väärä, kun p on totta ja q on väärä, muuten se on totta. Totuustaulukko p ightarrow q On:

s	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Joku voi ihmetellä, että miksi on p ightarrow q totta kun p on väärä. Tämä johtuu siitä, että implikaatio takaa, että milloin p ja q ovat totta, niin implikaatio on totta. Mutta vaikutus ei takaa mitään, kun lähtökohta p on väärä. Ei ole mitään keinoa tietää, onko implikaatio väärä vai ei p ei tapahtunut. Tämä tilanne on samanlainen kuin Viaton kunnes todistettu syyllinen -asenne, mikä tarkoittaa, että implikaatio p ightarrow q katsotaan todeksi, kunnes todistetaan vääräksi. Koska emme voi kutsua implikaatiota p ightarrow q väärä milloin p on väärä, ainoa vaihtoehtomme on kutsua sitä todeksi.

Tämä seuraa siitä Räjähdysperiaate jossa sanotaan: Väärä väite tarkoittaa mitä tahansa Ehdollisilla väitteillä on erittäin tärkeä rooli matemaattisessa päättelyssä, joten ilmaisussa käytetään monenlaista terminologiaa. p ightarrow q , joista osa on lueteltu alla.

Jos p, niin qp riittää qq:lle, kun pa:n välttämätön ehto p on qp vain jos qq ellei ≠pq seuraa p:stä

Esimerkki, Jos on perjantai, niin tänään sataa, on ehdotus, joka on muotoa p ightarrow q . Yllä oleva väite on totta, jos ei ole perjantai (oletus on väärä) tai jos on perjantai ja sataa, ja se on väärä, kun on perjantai, mutta ei sata.

6. Kaksiehtoinen tai kaksoisimplikaatio

Kaikille kahdelle ehdotukselle p ja q , lausunto p jos ja vain jos (jos) q kutsutaan kaksiehtoiseksi ja sitä merkitään pleftrightarrow q . Lausunto pleftrightarrow q kutsutaan myös a bi-implikaatio . pleftrightarrow q on sama totuusarvo kuin (p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Merkitys on totta, kun p ja q on samat totuusarvot, ja se on muuten väärä. Totuustaulukko pleftrightarrow q On:

s	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

Muutamia muita yleisiä ilmaisutapoja pleftrightarrow q ovat:

p on välttämätön ja riittävä arvolle qif p sitten q, ja päinvastoin p, jos q

Esimerkki: Tänään sataa, jos ja vain, jos tänään on perjantai. on ehdotus, joka on muotoa pleftrightarrow q . Yllä oleva väite on totta, jos ei ole perjantai eikä sataa tai jos on perjantai ja sataa, ja se on väärä, kun ei ole perjantai tai ei sataa. Harjoittele:

1) Harkitse seuraavia väitteitä: