Logaritmien lait
Logaritmi on eksponentti tai potenssi, johon kantaa korotetaan tietyn luvun saamiseksi. Esimerkiksi 'a' on logaritmi 'm':n 'x' kantaan, jos x m = a, voimme kirjoittaa sen muodossa m = log x a. Logaritmit on keksitty nopeuttamaan laskelmia ja aika lyhenee, kun kerromme useita numeroita logaritmeilla. Keskustellaan nyt logaritmien laeista alla.
Logaritmien lait
On olemassa kolme logaritmien lakia, jotka johdetaan eksponentin perussäännöillä. Lait ovat tuotesääntölaki, osamääräsääntölaki, valtasääntölaki. Katsotaanpa lakeja yksityiskohtaisesti.
Ensimmäinen logaritmin laki tai tuotesääntölaki
Olkoon a = x n ja b = x m jossa kanta x:n tulisi olla suurempi kuin nolla ja x ei ole nolla. eli x> 0 ja x ≠ 0. tästä voimme kirjoittaa ne muodossa
n = log x a ja m = log x b ⇢ (1)
Käyttämällä ensimmäistä eksponenttilakia tiedämme, että x n × x m = x n + m ⇢ (2)
Nyt kerromme a ja b, saamme sen muodossa,
ab = x n × x m
ab = x n + m (Yhtälöstä 2)
Käytä nyt logaritmia yllä olevaan yhtälöön, jonka saamme alla,
Hirsi x ab = n + m
Yhtälöstä 1 voimme kirjoittaa lokina x ab = loki x a + loki x b
Joten jos haluamme kertoa kaksi lukua ja löytää tulon logaritmin, lisää sitten kahden luvun yksittäiset logaritmit. Tämä on ensimmäinen logaritmien laki/tuotesääntölain.
Hirsi x ab = loki x a + loki x b
Voimme soveltaa tätä lakia useammalle kuin kahdelle numerolle, esim.
Hirsi x abc = loki x a + loki x b + log x c.
Toinen logaritmin laki tai osamääräsääntölaki
Olkoon a = x n ja b = x m jossa kanta x:n tulisi olla suurempi kuin nolla ja x ei ole nolla. eli x> 0 ja x ≠ 0. tästä voimme kirjoittaa ne muodossa,
n = log x a ja m = log x b ⇢ (1)
Käyttämällä ensimmäistä eksponenttilakia tiedämme, että x n / x m = x n - m ⇢ (2)
Nyt kerromme a ja b, saamme sen muodossa,
a/b = x n / x m
a/b = x n - m ⇢ (yhtälöstä 2)
Käytä nyt logaritmia yllä olevaan yhtälöön, jonka saamme alla,
Hirsi x (a/b) = n – m
Yhtälöstä 1 voimme kirjoittaa lokina x (a/b) = log x halko x b
Joten jos haluamme jakaa kaksi lukua ja löytää jaon logaritmin, voimme vähentää näiden kahden luvun yksittäiset logaritmit. Tämä on logaritmien/osamääräsääntölain toinen laki.
Hirsi x (a/b) = log x halko x b
Kolmas logaritmin laki tai tehosääntölaki
Olkoon a = x n ⇢ (i),
Kun kanta x:n tulisi olla suurempi kuin nolla ja x ei ole nolla. eli x> 0 ja x ≠ 0. tästä voimme kirjoittaa ne muodossa,
n = log x a ⇢ (1)
Jos nostamme yhtälön (i) molempia puolia 'm':n potenssilla, saamme sen seuraavasti:
a m = (x n ) m = x nm
Anna a m on yksi suure ja käytä logaritmia yllä olevaan yhtälöön,
Hirsi x a m = nm
Hirsi x a m = m.log x a
Tämä on logaritmien kolmas laki. Siinä todetaan, että potenssiluvun logaritmi voidaan saada kertomalla luvun logaritmi tällä luvulla.
Esimerkkiongelmat
Ongelma 1: Laajenna loki 21.
Ratkaisu:
Kuten tiedämme sen lokin x ab = loki x a + loki x b (Logaritmin ensimmäisestä laista)
Joten log 21 = log (3 × 7)
= log 3 + log 7
Tehtävä 2: Laajenna loki (125/64).
Ratkaisu:
Kuten tiedämme sen lokin x( a/b) = log x halko x b (logaritmin toisesta laista)
Joten log (125/64) = log 125 – log 64
= loki 5 3 – loki 4 3
Hirsi x a m = m.log x a (Logaritmin kolmannesta laista), voimme kirjoittaa sen muodossa,
= 3 log 5 – 3 log 4
= 3 (log 5 – log 4)
Tehtävä 3: Kirjoita 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 yhtenä logaritmina.
Ratkaisu:
3log 2 + 5 log3 – 5log 2
= loki 2 3 + loki 3 5 - loki 2 5
= log 8 + log 243 – log 32
= log(8 × 243) – log 32
= loki 1944 – loki 32
= loki (1944/32)
Tehtävä 4: Kirjoita log 16 – log 2 yhtenä logaritmina.
Ratkaisu:
loki (16/2)
= log(8)
= log(2 3 )
= 3 log 2
Tehtävä 5: kirjoita 3 log 4 yhtenä logaritmina
Ratkaisu:
Valtasäännön laista voimme kirjoittaa sen seuraavasti:
= loki 4 3
= log 64
Tehtävä 6: Kirjoita 2 log 3 - 3 log 2 yhtenä logaritmina
Ratkaisu:
loki 3 2 - loki 2 3
= log 9 – log 8
= loki (9/8)
Tehtävä 7: Kirjoita log 243 + log 1 yhtenä logaritmina
Ratkaisu:
loki (243 × 1)
= log 243
