Olkoon L ei-tyhjä joukko, joka on suljettu kahdella binäärioperaatiolla, joita kutsutaan meet and join ja joita merkitään ∧ ja ∨. Silloin L:tä kutsutaan hilaksi, jos seuraavat aksioomit pätevät missä a, b, c ovat L:n alkioita:

1) Mutatiivinen laki: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Assosiaatiolaki:
(a) (a ∧ b) ∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Absorptiolaki: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Kaksinaisuus:

Minkä tahansa lauseen duaali hilassa (L,∧ ,∨ ) määritellään lauseeksi, joka saadaan vaihtamalla ∧ an ∨.

Esimerkiksi , a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a duaali on a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Rajatut ristikot:

Hilaa L kutsutaan rajoitetuksi hilaksi, jos sen suurin alkio on 1 ja pienin alkio 0.

Esimerkki:

1. Joukon S potenssijoukko P(S) leikkaus- ja liitosoperaatioissa on rajattu hila, koska ∅ on P(S):n pienin alkio ja joukko S on P(S):n suurin alkio.
2. +ve kokonaisluvun I joukko ₊ tavallisessa järjestyksessä ≦ ei ole rajoitettu hila, koska sillä on pienin alkio 1, mutta suurinta alkiota ei ole olemassa.

Rajattujen ristikoiden ominaisuudet:

Jos L on rajoitettu hila, niin mille tahansa elementille a ∈ L on seuraavat identiteetit:

1. a ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Lause: Todista, että jokainen äärellinen hila L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ ....a _n } on rajoitettu.

Todiste: Olemme antaneet äärellisen hilan:

L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ ....a _n }

Siten hilan L suurin elementti on a ₁ ∨ a ₂ ∨ a _{3∨....∨a n .}

Myös hilan L pienin alkio on a ₁ ∧ a ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _n .

Koska suurin ja pienin alkio on olemassa jokaisessa äärellisessä hilassa. Siksi L on rajoitettu.

Alahilat:

Tarkastellaan ei-tyhjää osajoukkoa L ₁ hilasta L. Sitten L ₁ kutsutaan L:n alihilaksi, jos L ₁ itse on hila eli L:n operaatio eli a ∨ b ∈ L ₁ ja a ∧ b ∈ L ₁ aina kun ∈ L ₁ ja b ∈ L ₁ .

Esimerkki: Tarkastellaan kaikkien +ve kokonaislukujen I hilaa ₊ jaotteluoperaation alla. Hila D _n n > 1:n kaikista jakajista on I:n alihila ₊ .

Määritä kaikki D:n alihilat ₃₀ jotka sisältävät vähintään neljä elementtiä, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Ratkaisu: D:n alihilat ₃₀ jotka sisältävät vähintään neljä elementtiä, ovat seuraavat:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Isomorfiset hilat:

Kaksi ristikkoa L ₁ ja minä ₂ kutsutaan isomorfisiksi hiloiksi, jos L:stä on bijektio ₁ minulle ₂ eli f: L ₁ ⟶ L ₂ , niin että f (a ∧ b) =f(a) ∧ f(b) ja f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Esimerkki: Selvitä ovatko kuvassa 2 esitetyt hilat isomorfisia.

Ratkaisu: Kuvassa näkyvät hilat ovat isomorfisia. Tarkastellaan kuvausta f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Esimerkiksi f (b ∧ c) = f (a) = 1. on f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Jakohila:

Hilaa L kutsutaan distributiiviseksi hilaksi, jos se täyttää L:n jollekin alkiolle a, b ja c seuraavat jakautumisominaisuudet:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Jos hila L ei täytä yllä olevia ominaisuuksia, sitä kutsutaan ei-jakautuvaksi hilaksi.

Esimerkki:

1. Joukon S tehojoukko P (S) leikkaus- ja liitosoperaation alaisena on jakofunktio. Siitä asti kun,
   a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   ja myös a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) mille tahansa P(S) joukolle a, b ja c.
2. Kuvassa II esitetty hila on distributiivinen. Koska se täyttää kaikkien tilattujen kolmosten jakautumisominaisuudet, jotka on otettu luvuista 1, 2, 3 ja 4.

Komplementit ja komplementoidut hilat:

Olkoon L rajoitettu hila, jonka alaraja on o ja yläraja I. Olkoon a alkio, jos L. Alkiota x L:ssä kutsutaan a:n komplementiksi, jos a ∨ x = I ja a ∧ x = 0

Hilan L sanotaan olevan komplementti, jos L on rajoitettu ja jokaisella L:n alkiolla on komplementti.

Esimerkki: Määritä a:n ja c:n komplementti kuvassa:

Ratkaisu: A:n komplementti on d. Koska a ∨ d = 1 ja a ∧ d = 0

c:n komplementtia ei ole olemassa. Koska ei ole olemassa sellaista elementtiä c, että c ∨ c'=1 ja c ∧ c'= 0.

Modulaarinen ristikko:

Hilaa (L, ∧,∨) kutsutaan modulaariseksi hilaksi, jos a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c aina a ≦ c.

Suora ristikkotuote:

Anna (L ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ )ja minä ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) on kaksi hilaa. Silloin (L, ∧, ∨) on hilan suoratulo, missä L = L ₁ x L ₂ jossa binäärioperaatio ∨(liity) ja ∧(tapaavat) L:ssä ovat sellaisia, että mille tahansa (a ₁ ,b ₁ ) ja (a ₂ ,b ₂ ) kirjassa L.

(a ₁ ,b ₁ )∨( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∨ ₁ a ₂ ,b ₁ ∨ ₂ b ₂ )
ja (a ₁ ,b ₁ ) ∧ ( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∧ ₁ a ₂ ,b ₁ ∧ ₂ b ₂ ).

Esimerkki: Tarkastellaan hila (L, ≦) kuvan 1 mukaisesti. missä L = {1, 2}. Määritä hilat (L ² , ≦), jossa L ² =L x L.

Ratkaisu: Hila (L ² , ≦) näkyy kuvassa: