La sustitución trigonométrica es uno de los métodos de sustitución de integración en los que una función o expresión en la integral dada se sustituye por funciones trigonométricas como sin, cos, tan, etc. La integración por sustitución es el método de sustitución más sencillo.

Se utiliza cuando realizamos una sustitución de una función, cuya derivada ya está incluida en la función integral dada. Con esto, la función se simplifica y se obtiene una función integral simple que podemos integrar fácilmente. También se conoce como sustitución u o regla de la cadena inversa. O en otras palabras, usando este método, podemos evaluar fácilmente integrales y antiderivadas.

Sustitución trigonométrica

¿Qué es la sustitución trigonométrica?

La sustitución trigonométrica es un proceso en el que se produce la sustitución de una función trigonométrica en otra expresión. Se utiliza para evaluar integrales o es un método para encontrar antiderivadas de funciones que contienen raíces cuadradas de expresiones cuadráticas o potencias racionales de la forma frac{p}{2} (donde p es un número entero) de expresiones cuadráticas. Ejemplos de tales expresiones son

({x^2+4})^frac{3}{2} o sqrt{25-x^2} o etc

Se puede recurrir al método de sustitución trigonométrica cuando otros métodos de integración más comunes y más fáciles de usar han fallado. La sustitución trigonométrica supone que estás familiarizado con las identidades trigonométricas estándar, el uso de la notación diferencial, la integración mediante sustitución u y la integración de funciones trigonométricas.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Aquí discutiremos algunas fórmulas importantes dependiendo de la función que necesitemos integrar, sustituimos una de las siguientes expresiones trigonométricas para simplificar la integración:

∫cosx dx = senx + C

∫sinx dx = −cosx + C

∫sec ² x dx = tanx + C

∫cosec ² x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| +C

∫cotx dx = ln|senx| +C

∫secx dx = ln|secx + tanx| +C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| +C

Leer en detalle: Cálculo en matemáticas

¿Cuándo utilizar la sustitución trigonométrica?

Usamos sustitución trigonométrica en los siguientes casos,

¿Cómo aplicar el método de sustitución trigonométrica?

Podemos aplicar el método de sustitución trigonométrica como se analiza a continuación,

Integral con un ² - X ²

Consideremos un ejemplo de la Integral que involucra una ² - X ² .

Ejemplo: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Pongamos, x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Así, yo = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ yo = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ yo = int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Como, x = a senθ

⇒ θ = sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ yo = sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral con x ² + un ²

Consideremos un ejemplo de la Integral que involucra x ² + un ² .

Ejemplo: encontrar la integral old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Solución:

Pongamos x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, obtenemos

Así, yo = int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ yo = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ yo = frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ yo = frac{1}{a} heta +c

Como, x = a tanθ

⇒ θ = tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ yo = frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) +c

Integral con un ² +x ² .

Consideremos un ejemplo de la Integral que involucra una ² +x ² .

Ejemplo: Encuentre la integral de old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Solución:

Pongamos, x = a tanθ

⇒ dx = un segundo ² θ dθ

Así, yo = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ yo = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ yo = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ yo = int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ yo = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ yo = log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ yo = log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ yo = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ yo = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ yo = log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ yo = log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integral con x ² - a ² .

Consideremos un ejemplo de la Integral que involucra x ² - a ² .

Ejemplo: Encuentre la integral de old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Pongamos, x = un segundoθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Así, yo = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ yo = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ yo = int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ yo = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ yo = log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ yo = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ yo = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ yo = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ yo = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ yo = log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Leer más,

• Fórmulas de integración
• Integración por sustitución
• Integración por partes

Problemas de muestra sobre sustitución trigonométrica

Problema 1: Encuentra la integral de old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Solución:

Tomando 5 comunes en denominador,

⇒ yo = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ yo = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Según el teorema 1, a = frac{3}{5}

⇒ yo = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) +c

⇒ yo = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) +c

Problema 2: Encuentra la integral de old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Solución:

Tomando √2 común en denominador,

⇒ yo = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ yo = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Según el teorema 1, a = 2

⇒ yo = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ yo = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Problema 3: Encuentra la integral de old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Solución:

Reordenando obtenemos

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Aquí tomando, a = 3 y x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 porque θ dθ

Sustituyendo estos valores,

yo = int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ yo = int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ yo = int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ yo = 243 inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ yo = 243 inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Echemos,

u = porque θ

⇒ du = -sen θ dθ

Sustituyendo estos valores obtenemos

⇒ yo = 243 inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ Yo = -243 inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ Yo = -243 inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ Yo = -243 [frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Como, u = cos θ y x = 3 sinθ

⇒ porque θ = sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ en = sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ en = (1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Por tanto, I = -243 [frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ Yo = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] +c

Problema 4: Encuentra la integral de old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Solución:

Tomando 9 comunes en denominador,

yo = frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ yo = frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Según el teorema 2, a = frac{2}{3}

⇒ yo = frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ yo = frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Problema 5: Encuentre la integral de old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Solución:

Tomando 4 comunes en denominador,

yo = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ yo = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Según el teorema 3, a = frac{5}{4}

⇒ yo = frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ yo = frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ yo = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ yo = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Problema 6: Encuentre la integral de old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Solución:

Tomando 2 comunes en denominador,

yo = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

yo = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Según el teorema 4, a = frac{3}{2}

yo = frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

yo = frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

yo = frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

yo = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

yo = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Problema 7: Encuentre la integral de old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Solución:

Después de reorganizar, obtenemos

yo = int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

yo = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

yo = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

yo = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Según el teorema 2, tenemos

x = x- frac{1}{2} y un = frac{sqrt{3}}{2}

yo = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

yo = frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Sustitución trigonométrica – Preguntas frecuentes

¿Qué es la sustitución trigonométrica?

La sustitución trigonométrica es una técnica de integración utilizada para resolver integrales que involucran expresiones con radicales y raíces cuadradas como √(x ² + un ² ), √(un ² +x ² ), y √(x ² - a ² ).

¿Cuándo debo utilizar la sustitución trigonométrica?

La sustitución trigonométrica es útil cuando tienes una integral que involucra una expresión radical, especialmente cuando la expresión radical contiene un término cuadrático.

¿Cuáles son las tres sustituciones trigonométricas que se utilizan habitualmente en las integrales?

Las tres sustituciones trigonométricas comúnmente utilizadas son:

• Sustituya x = a sin θ cuando la expresión radical contenga un término de la forma a ² - X ² .
• Sustituir x = a tan θ cuando la expresión radical contiene un término de la forma x ² - a ² .
• Sustituir x = a sec θ cuando la expresión radical contiene un término de la forma x ² + un ² .

¿Cómo puede alguien elegir qué sustitución trigonométrica utilizar?

Debes elegir la sustitución trigonométrica según la forma de la expresión radical. Si la expresión radical contiene un término de la forma a^2 – x^2, use x = a sin θ. Si la expresión radical contiene un término de la forma x^2 – a^2, use x = a tan θ. Si la expresión radical contiene un término de la forma x^2 + a^2, use x = a sec θ.