En matemáticas, la sumatoria es la suma básica de una secuencia de números cualesquiera, llamada sumandos o sumandos; el resultado es su suma o total. En Matemáticas los números, funciones, vectores, matrices, polinomios y, en general, elementos de cualquier objeto matemático se pueden asociar con una operación llamada suma, denotada como +.

La suma de una secuencia explícita se denota como una sucesión de adiciones. Por ejemplo, la suma de (1, 3, 4, 7) se puede denotar como base 1 + 3 + 4 + 7, y el resultado de la notación anterior es 15, es decir, 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Porque la operación de suma es tanto asociativa como conmutativa, no hay necesidad de paréntesis al enumerar la serie/secuencia y el resultado será el mismo independientemente del orden de los sumandos.

Tabla de contenidos

• ¿Qué es la fórmula de suma?
• ¿Dónde utilizar la fórmula de suma?
• Propiedades de la suma
• Fórmulas de suma estándar
• Ejemplo de fórmula de suma
• Preguntas frecuentes sobre la fórmula de suma

¿Qué es la fórmula de suma?

La notación sumatoria o sigma (∑) es un método que se utiliza para escribir una suma larga de forma concisa. Esta notación se puede adjuntar a cualquier fórmula o función.

Por ejemplo, _yo=1 ∑ ¹⁰ (i) es una notación sigma de la suma de la secuencia finita 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 donde el primer elemento es 1 y el último elemento es 10.

Fórmulas de suma

¿Dónde utilizar la fórmula de suma?

La notación sumatoria se puede utilizar en varios campos de las matemáticas:

• Secuencia en serie
• Integración
• Probabilidad
• Permutación y combinación
• Estadísticas

Nota: Una suma es una forma corta de suma repetitiva. También podemos reemplazar la suma con un bucle de suma.

Propiedades de la suma

Propiedad 1

_yo=1 ∑ ^norte c = c + c + c + …. + c (n) veces = nc

Por ejemplo: Encuentre el valor de _yo=1 ∑ ⁴ C.

Usando la propiedad 1 podemos calcular directamente el valor de _yo=1 ∑ ⁴ c como 4×c = 4c.

Propiedad 2

_c=1 ∑ ^norte kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) +…. + (k×n)…. (n) veces = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ^norte C

Por ejemplo: Encuentre el valor de _yo=1 ∑ ⁴ 5i.

Usando las propiedades 2 y 1 podemos calcular directamente el valor de _{yo = 1} ∑ ⁴ 5i como 5 × _yo=1 ∑ ⁴ yo = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Propiedad 3

_c=1 ∑ ^norte (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) +…. + (k+n)…. (n) veces = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ^norte C

Por ejemplo: Encuentre el valor de _yo=1 ∑ ⁴ (5+i).

Usando las propiedades 2 y 3 podemos calcular directamente el valor de _yo=1 ∑ ⁴ (5+i) como 5×4 + _yo=1 ∑ ⁴ yo = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Propiedad 4

_k=1 ∑ ^norte (f(k) + gramo(k)) = _k=1 ∑ ^norte f(k) + _k=1 ∑ ^norte G k)

Por ejemplo: encontrar el valor de _yo=1 ∑ ⁴ (yo + yo ² ).

Usando la propiedad 4 podemos calcular directamente el valor de _yo=1 ∑ ⁴ (yo + yo ² ) como _yo=1 ∑ ⁴ yo + _yo=1 ∑ ⁴ i ² = ( 1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Fórmulas de suma estándar

Varias fórmulas de suma son,

Suma de los primeros n números naturales: (1+2+3+…+n) = _yo=1 ∑ ^norte (yo) = [norte ×(norte +1)]/2

Suma del cuadrado de los primeros n números naturales: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _yo=1 ∑ ^norte (i ² ) = [norte × (norte +1) × (2norte+1)]/6

Suma del cubo de los primeros n números naturales: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _yo=1 ∑ ^norte (i ³ ) = [norte ² ×(norte +1) ² )]/4

Suma de los primeros n números naturales pares: (2+4+…+2n) = _yo=1 ∑ ^norte (2i) = [norte ×(norte +1)]

Suma de los primeros n números naturales impares: (1+3+…+2n-1) = _yo=1 ∑ ^norte (2i-1) = norte ²

Suma del cuadrado de los primeros n números naturales pares: (2 ² +4 ² +…+(2n) ² ) = _yo=1 ∑ ^norte (2i) ² = [2norte(norte + 1)(2norte + 1)] / 3

Suma del cuadrado de los primeros n números naturales impares: (1 ² +3 ² +…+(2n-1) ² ) = _yo=1 ∑ ^norte (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Suma del cubo de los primeros n números naturales pares: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _yo=1 ∑ ^norte (2i) ³ = 2[norte(norte+1)] ²

Suma del cubo de los primeros n números naturales impares: (1 ³ +3 ³ +…+(2n-1) ³ ) = _yo=1 ∑ ^norte (2i-1) ³ = norte ² (2norte ² – 1)

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• Suma en Matemáticas
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Ejemplo de fórmula de suma

Ejemplo 1: Encuentre la suma de los primeros 10 números naturales, usando la fórmula de suma.

Solución:

Usando la fórmula de suma para la suma de n números naturales _yo=1 ∑ ^norte (yo) = [norte ×(norte +1)]/2

Tenemos suma de los primeros 10 números naturales = _yo=1 ∑ ¹⁰ (yo) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Ejemplo 2: Encuentra la suma de 10 primeros números naturales mayores que 5, usando la fórmula de suma.

Solución:

Según la pregunta:

Suma de 10 primeros números naturales mayores que 5 = _yo=6 ∑ ¹⁵ (i)

= _yo=1 ∑ ¹⁵ (i) - _yo=1 ∑ ⁵ (i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Ejemplo 3: encontrar la suma de la secuencia finita dada 1 ² + 2 ² + 3 ² + … 8 ² .

Solución:

La secuencia dada es 1 ² + 2 ² + 3 ² + … 8 ² , se puede escribir como _yo=1 ∑ ⁸ i ² usando la propiedad/fórmula de suma

_yo=1 ∑ ⁸ i ² = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Ejemplo 4: simplificar _c=1 ∑ ^norte kc.

Solución:

Fórmula de suma dada = _c=1 ∑ ^norte kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n términos)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ^norte kc = k _c=1 ∑ ^norte C

Ejemplo 5: simplificar y evaluar x ₌₁ ∑ ^norte (4+x).

Solución:

La suma dada es _x=1 ∑ ^norte (4+x)

Como sabemos que _c=1 ∑ ^norte (k+c) = nk + _c=1 ∑ ^norte C

La suma dada se puede simplificar como,

4n+ _x=1 ∑ ^norte (X)

Ejemplo 6: simplificar _x=1 ∑ ^norte (2x+x ² ).

Solución:

La suma dada es _x=1 ∑ ^norte (2x+x ² ).

como sabemos que _k=1 ∑ ^norte (f(k) + gramo(k)) = _k=1 ∑ ^norte f(k) + _k=1 ∑ ^norte G k)

la suma dada se puede simplificar como _x=1 ∑ ^norte (2x) + _x=1 ∑ ^norte (X ² ).

Preguntas frecuentes sobre la fórmula de suma

¿Qué es la fórmula de suma de números naturales?

La suma de los números naturales del 1 al n se encuentra usando la fórmula n (n + 1) / 2. Por ejemplo, la suma de los primeros 100 números naturales es 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

¿Qué es la fórmula de suma general?

Fórmula de suma general utilizada para encontrar la suma de una secuencia {a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…,a _norte } es, ∑a _i = un ₁ + un ₂ + un ₃ + … + un _norte

¿Cómo se usa ∑?

∑ es el símbolo de la suma y se utiliza para encontrar la suma de series.

¿Cuál es la fórmula para la suma n?

La fórmula para la suma de n números naturales es, la fórmula para la suma de n números es [n(n+1)2]