La lógica proposicional (PL) es la forma más simple de lógica donde todos los enunciados se formulan mediante proposiciones. Una proposición es un enunciado declarativo que es verdadero o falso. Es una técnica de representación del conocimiento en forma lógica y matemática.

Ejemplo:

 a) It is Sunday. b) The Sun rises from West (False proposition) c) 3+3= 7(False proposition) d) 5 is a prime number.  

A continuación se presentan algunos hechos básicos sobre la lógica proposicional:

• La lógica proposicional también se llama lógica booleana porque funciona con 0 y 1.
• En lógica proposicional, usamos variables simbólicas para representar la lógica y podemos usar cualquier símbolo para representar una proposición, como A, B, C, P, Q, R, etc.
• Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, pero no pueden ser ambas cosas.
• La lógica proposicional consta de un objeto, relación o función, y conectivos lógicos .
• Estos conectivos también se denominan operadores lógicos.
• Las proposiciones y los conectivos son los elementos básicos de la lógica proposicional.
• Los conectivos se pueden decir como operadores lógicos que conectan dos oraciones.
• Una fórmula de proposición que siempre es verdadera se llama tautología , y también se le llama sentencia válida.
• Una fórmula de proposición que siempre es falsa se llama Contradicción .
• Una fórmula de proposición que tiene valores verdaderos y falsos se llama
• Las declaraciones que son preguntas, órdenes u opiniones no son proposiciones como ' ¿Dónde está Rohini? ', ' Cómo estás ', ' Cómo te llamas ', no son proposiciones.

Sintaxis de la lógica proposicional:

La sintaxis de la lógica proposicional define las oraciones permitidas para la representación del conocimiento. Hay dos tipos de Proposiciones:

Proposiciones atómicas Proposiciones compuestas

Proposición atómica: Las proposiciones atómicas son las proposiciones simples. Consta de un único símbolo de proposición. Estas son las oraciones que deben ser verdaderas o falsas.

Ejemplo:

 a) 2+2 is 4, it is an atomic proposition as it is a true fact. b) 'The Sun is cold' is also a proposition as it is a false fact.  

Proposición compuesta: Las proposiciones compuestas se construyen combinando proposiciones más simples o atómicas, utilizando paréntesis y conectivos lógicos.

Ejemplo:

 a) 'It is raining today, and street is wet.' b) 'Ankit is a doctor, and his clinic is in Mumbai.'  

Conectivos Lógicos:

Los conectivos lógicos se utilizan para conectar dos proposiciones más simples o representar una oración de manera lógica. Podemos crear proposiciones compuestas con la ayuda de conectivos lógicos. Existen principalmente cinco conectivos, que se dan de la siguiente manera:

Negación: Una oración como ¬ P se llama negación de P. Un literal puede ser literal positivo o negativo. Conjunción: Una frase que tiene ∧ conectivo como, pag ∧ q se llama conjunción.
Ejemplo: Rohan es inteligente y trabajador. Se puede escribir como,
P= Rohan es inteligente ,
P= Rohan es muy trabajador. → P∧Q . Disyunción: Una oración que tiene ∨ conectivo, como P∨Q . se llama disyunción, donde P y Q son las proposiciones.
Ejemplo: 'Ritika es doctora o ingeniera' ,
Aquí P= Ritika es Doctora. P= Ritika es Doctora, así que podemos escribirla como P∨Q . Implicación: Una oración como P → Q, se llama implicación. Las implicaciones también se conocen como reglas si-entonces. Se puede representar como
Si está lloviendo y luego la calle está mojada.
Sea P= Está lloviendo y Q= La calle está mojada, por lo que se representa como P → Q Bicondicional: Una frase como P⇔ Q es una oración bicondicional, ejemplo Si respiro, entonces estoy vivo
P= estoy respirando, Q= estoy vivo, se puede representar como P ⇔ Q.

A continuación se muestra la tabla resumida de Conectivos Lógicos Proposicionales:

Mesa de la verdad:

En lógica proposicional, necesitamos conocer los valores de verdad de las proposiciones en todos los escenarios posibles. Podemos combinar todas las combinaciones posibles con conectivos lógicos, y la representación de estas combinaciones en formato tabular se llama Mesa de la verdad . A continuación se muestra la tabla de verdad para todos los conectivos lógicos:

Tabla de verdad con tres proposiciones:

Podemos construir una proposición que componga tres proposiciones P, Q y R. Esta tabla de verdad está formada por 8n tuplas, ya que hemos tomado tres símbolos de proposición.

Precedencia de conectivos:

Al igual que los operadores aritméticos, existe un orden de precedencia para los conectores proposicionales u operadores lógicos. Este orden debe seguirse al evaluar un problema proposicional. A continuación se muestra la lista del orden de precedencia de los operadores:

Nota: Para una mejor comprensión, utilice paréntesis para asegurarse de que las interpretaciones sean correctas. Tal como ¬R∨ Q, se puede interpretar como (¬R) ∨ Q.

Equivalencia lógica:

La equivalencia lógica es una de las características de la lógica proposicional. Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si y sólo si las columnas de la tabla de verdad son idénticas entre sí.

Tomemos dos proposiciones A y B, por lo que para equivalencia lógica, podemos escribirla como A⇔B. En la siguiente tabla de verdad podemos ver que la columna para ¬A∨ B y A→B son idénticas, por lo tanto, A es equivalente a B.

Propiedades de los operadores:

Conmutatividad:
• P∧ Q= Q ∧ P, o
• P ∨ Q = Q ∨ P.
Asociatividad:
• (P ∧ Q) ∧ R= P ∧ (Q ∧ R),
• (P ∨ Q) ∨ R= P ∨ (Q ∨ R)
Elemento de identidad:
• P ∧ Verdadero = P,
• P ∨ Verdadero= Verdadero.
Distributivo:
• P∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
• P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Ley de DE Morgan:
• 2 > 4 8 B 2 > 2 > @ 0 B
• ¬ (P ∨ Q ) = ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ).
Eliminación de doble negación:
• ¬ (¬P) = P.

Limitaciones de la lógica proposicional:

• No podemos representar relaciones como TODAS, algunas o ninguna con lógica proposicional. Ejemplo:
  Todas las chicas son inteligentes.
Algunas manzanas son dulces.
• La lógica proposicional tiene un poder expresivo limitado.
• En lógica proposicional, no podemos describir enunciados en términos de sus propiedades o relaciones lógicas.