Sea L un conjunto no vacío cerrado bajo dos operaciones binarias llamadas encuentro y unión, denotadas por ∧ y ∨. Entonces L se llama celosía si se cumplen los siguientes axiomas donde a, b, c son elementos en L:

1) Ley conmutativa: -
(a) una ∧ b = b ∧ una (b) una ∨ b = b ∨ una

2) Derecho asociativo:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Ley de absorción: -
(a) un ∧ (un ∨ b) = un (b) un ∨ (un ∧ b) = un

Dualidad:

El dual de cualquier enunciado en una red (L,∧,∨) se define como un enunciado que se obtiene intercambiando ∧ y ∨.

Por ejemplo , el dual de a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a es a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Celosías acotadas:

Una red L se llama red acotada si tiene el elemento mayor 1 y el elemento mínimo 0.

Ejemplo:

1. El conjunto potencia P(S) del conjunto S bajo las operaciones de intersección y unión es una red acotada ya que ∅ es el elemento menor de P(S) y el conjunto S es el elemento mayor de P(S).
2. El conjunto de +ve entero I ₊ bajo el orden habitual de ≦ no es una red acotada ya que tiene un elemento mínimo 1 pero el elemento mayor no existe.

Propiedades de las celosías acotadas:

Si L es una red acotada, entonces para cualquier elemento a ∈ L, tenemos las siguientes identidades:

1. un ∨ 1 = 1
2. un ∧1 = un
3. un ∨0=un
4. un ∧0=0

Teorema: Demuestre que toda red finita L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ ....a _norte } está ligado.

Prueba: Hemos dado la red finita:

L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ ....a _norte }

Por tanto, el mayor elemento de Lattices L es un ₁ ∨ un ₂ ∨ un _{3∨....∨a norte .}

Además, el elemento mínimo de la red L es un ₁ ∧ un ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _norte .

Desde entonces, los elementos mayores y menores existen para cada red finita. Por tanto, L está acotado.

Sub-Redes:

Considere un subconjunto L no vacío ₁ de una red L. Entonces L ₁ se llama subred de L si L ₁ en sí mismo es una red, es decir, la operación de L, es decir, a ∨ b ∈ L ₁ y a ∧ b ∈ L ₁ siempre que a ∈ L ₁ y b ∈ L ₁ .

Ejemplo: Considere la red de todos los +ve enteros I ₊ bajo la operación de divisibilidad. La celosía D _norte de todos los divisores de n > 1 es una subred de I ₊ .

Determinar todas las subredes de D. ₃₀ que contienen al menos cuatro elementos, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Solución: Las subredes de D ₃₀ que contienen al menos cuatro elementos son los siguientes:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Redes isomórficas:

Dos celosías L ₁ y yo ₂ se llaman redes isomorfas si hay una biyección de L ₁ a l ₂ es decir, f:L ₁ ⟶L ₂ , tal que f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) y f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Ejemplo: Determine si las redes que se muestran en la figura son isomorfas.

Solución: Las redes que se muestran en la figura son isomorfas. Considere el mapeo f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Por ejemplo, f (b ∧ c) = f (a) = 1. Además, tener f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Celosía distributiva:

Una red L se llama red distributiva si para cualquier elemento a, b y c de L, satisface las siguientes propiedades distributivas:

1. un ∧ (b ∨ c) = (un ∧ b) ∨ (un ∧ c)
2. un ∨ (b ∧ c) = (un ∨ b) ∧ (un ∨ c)

Si la red L no satisface las propiedades anteriores, se llama red no distributiva.

Ejemplo:

1. El conjunto potencia P (S) del conjunto S bajo la operación de intersección y unión es una función distributiva. Desde,
   un ∩ (b ∪ c) = (un ∩ b) ∪ (un ∩ c)
   y también a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) para cualesquiera conjuntos a, b y c de P(S).
2. La red que se muestra en la figura II es distributiva. Desde entonces, satisface las propiedades distributivas de todos los triples ordenados que se toman de 1, 2, 3 y 4.

Complementos y celosías complementadas:

Sea L una red acotada con límite inferior o y límite superior I. Sea a un elemento si L. Un elemento x en L se llama complemento de a si a ∨ x = I y a ∧ x = 0

Se dice que una red L está complementada si L está acotada y cada elemento de L tiene un complemento.

Ejemplo: Determine el complemento de a y c en la figura:

Solución: El complemento de a es d. Ya que, a ∨ d = 1 y a ∧ d = 0

El complemento de c no existe. Dado que no existe ningún elemento c tal que c ∨ c'=1 y c ∧ c'= 0.

Celosía Modular:

Una red (L, ∧,∨) se llama red modular si a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c siempre que a ≦ c.

Producto directo de celosías:

sea ​​(l ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ )y yo ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) ser dos celosías. Entonces (L, ∧,∨) es el producto directo de redes, donde L = L ₁ x largo ₂ en el que la operación binaria ∨(unirse) y ∧(reunirse) en L son tales que para cualquier (a ₁ ,b ₁ )y (un ₂ ,b ₂ ) en L.

(a ₁ ,b ₁ )∨( un ₂ ,b ₂ )=(un ₁ ∨ ₁ a ₂ ,b ₁ ∨ ₂ b ₂ )
y (un ₁ ,b ₁ ) ∧ ( un ₂ ,b ₂ )=(un ₁ ∧ ₁ a ₂ ,b ₁ ∧ ₂ b ₂ ).

Ejemplo: Considere una red (L, ≦) como se muestra en la fig. donde L = {1, 2}. Determine las celosías (L ² , ≦), donde L ² = Largo x Largo.

Solución: La celosía (L ² , ≦) se muestra en la figura: