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Matemático

Encontrar el número de triángulos entre segmentos de recta horizontal y vertical

Requisitos previos: POCO  Dados 'n' segmentos de línea, cada uno de ellos es horizontal o vertical, encuentre el número máximo de triángulos (incluidos los triángulos con área cero) que se pueden formar uniendo los puntos de intersección de los segmentos de línea. No se superponen dos segmentos de línea horizontal ni dos segmentos de línea vertical. Una línea se representa usando dos puntos (cuatro números enteros, los dos primeros son las coordenadas xey respectivamente para el primer punto y los otros dos son las coordenadas xey para el segundo punto) Ejemplos: 

 | ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be    4C   3     triangles.

La idea se basa en Algoritmo de línea de barrido . Construyendo una solución en pasos:

  1. Almacene ambos puntos de todos los segmentos de línea con el evento correspondiente (descrito a continuación) en un vector y ordene todos los puntos en orden no decreciente de sus coordenadas x.
  2. Imaginemos ahora una línea vertical que recorremos todos estos puntos y describimos 3 eventos según el punto en el que nos encontramos actualmente:
      en - punto más a la izquierda de un segmento de línea horizontal afuera - punto más a la derecha de un segmento de línea horizontal
    • a línea vertical
  3. Llamamos a la región 'activo' o las líneas horizontales 'activo' que han tenido el primer evento pero no el segundo. Tendremos un BIT (árbol indexado binario) para almacenar las coordenadas 'y' de todas las líneas activas.
  4. Una vez que una línea queda inactiva, eliminamos su 'y' del BIT.
  5. Cuando ocurre un evento de tercer tipo, es decir, cuando estamos en una línea vertical, consultamos el árbol en el rango de sus coordenadas 'y' y sumamos el resultado al número de puntos de intersección hasta el momento.
  6. Finalmente tendremos el número de puntos de intersecciones, digamos. metro entonces el número de triángulos (incluyendo el área cero) será metro do 3 .

Nota: Necesitamos ordenar cuidadosamente los puntos. Mire el cmp() función en la implementación para aclarar. 

CPP 
   // A C++ implementation of the above idea   #include     #define maxy 1000005   #define maxn 10005   using     namespace     std  ;   // structure to store point   struct     point   {      int     x       y  ;      point  (  int     a       int     b  )      {      x     =     a       y     =     b  ;      }   };   // Note: Global arrays are initially zero   // array to store BIT and vector to store   // the points and their corresponding event number   // in the second field of the pair   int     bit  [  maxy  ];   vector  &  lt  ;  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  gt  ;     events  ;   // compare function to sort in order of non-decreasing   // x coordinate and if x coordinates are same then   // order on the basis of events on the points   bool     cmp  (  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  a       pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  b  )   {      if     (     a  .  first  .  x     !=     b  .  first  .  x     )      return     a  .  first  .  x     &  lt  ;     b  .  first  .  x  ;      //if the x coordinates are same      else      {      // both points are of the same vertical line      if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if an 'in' event occurs before 'vertical'      // line event for the same x coordinate      else     if     (  a  .  second     ==     1     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if a 'vertical' line comes before an 'in'      // event for the same x coordinate swap them      else     if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     1  )      {      return     false  ;      }      // if an 'out' event occurs before a 'vertical'      // line event for the same x coordinate swap.      else     if     (  a  .  second     ==     2     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     false  ;      }      //in all other situations      return     true  ;      }   }   // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate   // in an active region while update(y -1) removes it   void     update  (  int     idx       int     val  )   {      while     (  idx     &  lt  ;     maxn  )      {      bit  [  idx  ]     +=     val  ;      idx     +=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }   }   // returns the number of lines in active region whose y   // coordinate is between 1 and idx   int     query  (  int     idx  )   {      int     res     =     0  ;      while     (  idx     &  gt  ;     0  )      {      res     +=     bit  [  idx  ];      idx     -=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }      return     res  ;   }   // inserts a line segment   void     insertLine  (  point     a       point     b  )   {      // if it is a horizontal line      if     (  a  .  y     ==     b  .  y  )      {      int     beg     =     min  (  a  .  x       b  .  x  );      int     end     =     max  (  a  .  x       b  .  x  );      // the second field in the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  beg       a  .  y  )     1  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  end       a  .  y  )     2  ));      }      //if it is a vertical line      else      {      int     up     =     max  (  b  .  y       a  .  y  );      int     low     =     min  (  b  .  y       a  .  y  );      //the second field of the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       up  )     3  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       low  )     3  ));      }   }   // returns the number of intersection points between all   // the lines vertical and horizontal to be run after the   // points have been sorted using the cmp() function   int     findIntersectionPoints  ()   {      int     intersection_pts     =     0  ;      for     (  int     i     =     0     ;     i     &  lt  ;     events  .  size  ()     ;     i  ++  )      {      //if the current point is on an 'in' event      if     (  events  [  i  ].  second     ==     1  )      {      //insert the 'y' coordinate in the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       1  );      }      // if current point is on an 'out' event      else     if     (  events  [  i  ].  second     ==     2  )      {      // remove the 'y' coordinate from the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       -1  );      }      // if the current point is on a 'vertical' line      else      {      // find the range to be queried      int     low     =     events  [  i  ++  ].  first  .  y  ;      int     up     =     events  [  i  ].  first  .  y  ;      intersection_pts     +=     query  (  up  )     -     query  (  low  );      }      }      return     intersection_pts  ;   }   // returns (intersection_pts)C3   int     findNumberOfTriangles  ()   {      int     pts     =     findIntersectionPoints  ();      if     (     pts     &  gt  ;  =     3     )      return     (     pts     *     (  pts     -     1  )     *     (  pts     -     2  )     )     /     6  ;      else      return     0  ;   }   // driver code   int     main  ()   {      insertLine  (  point  (  2       1  )     point  (  2       9  ));      insertLine  (  point  (  1       7  )     point  (  6       7  ));      insertLine  (  point  (  5       2  )     point  (  5       8  ));      insertLine  (  point  (  3       4  )     point  (  6       4  ));      insertLine  (  point  (  4       3  )     point  (  4       5  ));      insertLine  (  point  (  7       6  )     point  (  9       6  ));      insertLine  (  point  (  8       2  )     point  (  8       5  ));      // sort the points based on x coordinate      // and event they are on      sort  (  events  .  begin  ()     events  .  end  ()     cmp  );      cout     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;  Number     of     triangles     are  :     &  quot  ;     &  lt  ;  &  lt  ;      findNumberOfTriangles  ()     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;    n  &  quot  ;;      return     0  ;   }

Producción: 

Number of triangles are: 4 
Time Complexity:   O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )

Espacio auxiliar: O(maxy) donde maxy = 1000005


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