QU'EST-CE QUE LA DÉRIVÉE DE SEC X ?

La dérivée de Sec x est sec x tan x. La dérivée de Sec x fait référence au processus de recherche du changement dans la fonction sécante par rapport à la variable indépendante. Le processus spécifique de recherche de la dérivée des fonctions trigonométriques est appelé différenciation trigonométrique, et la dérivée de Sec x est l'un des résultats clés de la différenciation trigonométrique.

Dans cet article, nous découvrirons la dérivée de sec x et sa formule, y compris la preuve de la formule en utilisant également le premier principe des dérivées, la règle du quotient et la règle de la chaîne.

Qu’est-ce que la dérivée en mathématiques ?

Le dérivé d'une fonction est le taux de changement de la fonction par rapport à toute variable indépendante. La dérivée d'une fonction f(x) est notée f'(x) ou (d /dx) [f(x)]. La différenciation d'un fonction trigonométrique est appelé dérivé de la fonction trigonométrique ou dérivées trigonométriques.

La dérivée de sec x est (sec x ).(tan x). La dérivée de sec x est le taux de changement par rapport à l'angle, c'est-à-dire x. Parmi les dérivées trigonométriques, la dérivée du sec x est l'une des dérivées. La résultante de la dérivée de sec x est (sec x ).(tan x) .

Dérivé de la formule Sec x

La formule de la dérivée de sec x est donnée par :

d/dx [sec x] = (sec x).(tan x)

ou

(sec x)' = (sec x).(tan x)

Preuve de dérivée de Sec x

La dérivée de sec x peut être prouvée des manières suivantes :

En utilisant le premier principe de dérivée
En utilisant la règle du quotient
En utilisant la règle de chaîne

Dérivée de Sec x par le premier principe de dérivée

Pour prouver la dérivée de sec x en utilisant Premier principe de dérivée , nous utiliserons les limites de base et les formules trigonométriques répertoriées ci-dessous :

cos A – cos B = -2 péché (A+B)/2 péché (A-B)/2.
lim _{x → 0} (sans x) / x = 1
1/cos x = seconde x
péché x/cos x = bronzage x.

Commençons la preuve de la dérivée de sec x, supposons que f(x) = sec x.

Par premier principe, la dérivée d'une fonction f(x) est,

f'(x) = lim _{h → 0} [f(x + h) – f(x)] / h … (1)

Puisque f(x) = sec x, nous avons f(x + h) = sec (x + h).

En remplaçant ces valeurs dans (1),

f' (x) = lim _{h → 0} [sec (x + h) – sec x]/h

⇒ lim _{h → 0} 1/h [1/(cos (x + h) – 1/cos x)]

⇒lim _{h → 0} 1/h [cos x – cos(x + h)] / [cos x cos(x + h)]

⇒ 1/cos x lim _h->0 1/h [- 2 sin (x + x + h)/2 sin (x – x – h)/2] / [cos(x + h)] {Par 1}

⇒ 1/cos x lim _h->0 1/h [- 2 péché (2x + h)/2 péché (- h)/2] / [cos(x + h)]

Multiplier et diviser par h/2,

⇒ 1/cos x lim _h->0 (1/h) (h/2) [- 2 péché (2x + h)/2 péché (- h/2) / (h/2)] / [cos(x + h)]

Lorsque h → 0, nous avons h/2 → 0. Donc,

⇒ 1/cos x Lim _h/2->0 péché (h/2) / (h/2). lim _h->0 (sin(2x + h)/2)/cos(x + h)

⇒ 1/cosx. 1. péché x/cos x {Par 2}

⇒ sec x · bronzage x {Par 3 & 4}

Par conséquent, f'(x) = d/dx [sec x] = sec x . bronzage x

Dérivée de Sec x par règle de quotient

Pour prouver la dérivée de sec x en utilisant Règle de quotient , nous utiliserons des dérivées de base et formules trigonométriques qui sont listés ci-dessous :

sec x = 1/cos x
(d/dx) [u/v] = [u’v – uv’]/v ²

Commençons la preuve de la dérivée de sec x, supposons que f(x) = sec x = 1/cos x.

On a f(x) = 1/cos x = u/v

Par règle du quotient,

f'(x) = (vu' – uv') / v ²

f'(x) = [cos x d/dx (1) – 1 d/dx (cos x)] / (cos x) ²

⇒ [cos x (0) – 1 (-sin x)] / cos ² X

⇒ (péché x) / cos ² X

⇒ 1/cos x · (péché x)/ (cos x)

⇒ sec x · bronzage x

Par conséquent, f'(x) = d/dx [sec x] = sec x. bronzage x

Dérivée de Sec x par règle de chaîne

Pour prouver la dérivée de sin x en utilisant règle de la chaîne , nous utiliserons les dérivées de base et les formules trigonométriques listées ci-dessous :

un ^-m = 1/a ^m
d/dx [cos x] = – péché x
d/dx [x ⁿ ] = nx ^n-1

Commençons la preuve de la dérivée de sec x, supposons que f(x) = sec x = 1/cos x.

Nous pouvons écrire f(x) comme,

f(x) = 1/cos x = (cos x) ^-1

Par règle de puissance et règle de chaîne,

f'(x) = (-1) (cosx) ^-2 d/dx (cos x) {Par 3}

⇒ -1/cos ² x · (- péché x) {Par 1 & 2}

⇒ (péché x) / cos ² X

⇒ 1/cos x · (péché x)/ (cos x)

⇒ sec x · bronzage x

Par conséquent, f'(x) = d/dx [sec x] = sec x. bronzage x

En savoir plus sur,

Dérivé du Cosec x
Formules de différenciation
Différenciation des fonctions trigonométriques

Dérivée de Sec x Exemples

Exemple 1 : Trouvez la dérivée de sec x ·tan x.

Solution:

Soit f(x) = sec x · tan x = u.v

Par règle de produit,

f'(x) = u.v' + v.u'

⇒ (sec x) d/dx (tan x) + (tan x) d/dx (sec x)

⇒ (sec x)(sec ² x) + (tan x) (sec x · tan x)

⇒ seconde ³ x + sec x bronzage ² X

Donc f'(x)=sec ³ x + sec x bronzage ² X.

Exemple 2 : Trouver la dérivée de (sec x) ² .

Solution:

Soit f(x) = (sec x) ²

Par règle de puissance et règle de chaîne,

f'(x) = 2 sec x d/dx (sec x)

⇒ 2 sec x · (sec x · bronzage x)

⇒ 2 secondes ² x alors x

Donc f'(x)=2 sec ² x donc x.

Exemple 3 : Trouver la dérivée de sec ^-1 X.

Solution:

Soit y = sec ^-1 X.

Alors, sec y = x… (1)

Différencier les deux côtés par rapport à x,

⇒ sec y · tan y (dy/dx) = 1

⇒ dy/dx = 1 / (sec y · tan y)… (2)

Par l'un des identités trigonométriques ,

[ tan y = √sec²y – 1 = √x² – 1 ]

⇒ dy/dx = 1/(x √x² – 1)

Donc f'(x)= 1/(x √x² – 1).

Dérivé des questions pratiques Sec x

T1. Trouver la dérivée de sec 7x

Q2. Trouver la dérivée de x ² .sec x

T3 . Évaluer : (d/dx) [sec x/(x ² + 2)]

T4 . Évaluez la dérivée de : sin x. bronzer x. lit bébé x

Q5 . Trouver : (bronze x) ^{seconde x}

FAQ sur les dérivés de Sec x

Qu’est-ce que la dérivée ?

La dérivée de la fonction est définie comme le taux de variation de la fonction par rapport à une variable.

Écrivez la formule de la dérivée de sec x.

La formule de la dérivée de sec x est :

d/dx(sec x) = sec x. bronzage x

Quelle est la dérivée de sec (-x) ?

La dérivée de sec (-x) est sec(-x).tan(-x).(-1)

Quelles sont les différentes méthodes pour prouver la dérivée de Sec x ?

Les différentes méthodes pour prouver la dérivée de sin x sont :

En utilisant le premier principe de dérivée

Par règle de quotient

Par règle de chaîne