Dérivé d'Arctan
Dérivée de la fonction arc tangente est noté bronzage -1 (x) ou arctan(x). C'est égal à 1/(1+x 2 ) . Dérivée de la fonction arc tangente est trouvé en déterminant le taux de changement de la fonction arc tan par rapport à la variable indépendante. La technique permettant de trouver des dérivées de fonctions trigonométriques est appelée différenciation trigonométrique.
Dérivé d'Arctan
Dans cet article, nous découvrirons la dérivée d'arc tan x et sa formule, y compris la preuve de la formule. En dehors de cela, nous avons également fourni quelques exemples résolus pour une meilleure compréhension.
Dérivé d'Arctan x
La dérivée de la fonction arc tangente ou arctan(x) est 1/(1+x 2 ). L'arctan x représente l'angle dont la tangente est x. En d’autres termes, si y = arctan(x), alors tan(y) = x.
La dérivée d'une fonction peut être trouvée à l'aide de la règle de la chaîne. Si vous avez une fonction composite comme arctan(x), vous différenciez la fonction externe par rapport à la fonction interne, puis multipliez par la dérivée de la fonction interne.
Dérivé d'Arctan x Formule
La formule de la dérivée de l'inverse de tan x est donnée par :
d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x 2 )
Vérifiez également :
- Arctan – Formule, graphique, identités, domaine, plage et FAQ
- Calcul en mathématiques
- Inverse Fonction trigonométrique
Preuve de dérivé d'Arctan x
La dérivée de l'inverse de tan x peut être prouvée des manières suivantes :
- En utilisant Règle de la chaîne
- En utilisant Méthode de différenciation implicite
- Utiliser les premiers principes des dérivés
Dérivé d'Arctan x par règle de chaîne
Pour prouver la dérivée d'Arctan x par la règle de chaîne, nous utiliserons la formule trigonométrique de base et trigonométrique inverse :
- seconde 2 y = 1 + bronzage 2 et
- bronzage(arctan x) = x
Voici la preuve de dérivée d'arctan x :
Supposons que y = arctan(x)
En prenant du bronzage des deux côtés on obtient :
bronzage y = bronzage (arctan X)
bronzage y = x [comme bronzage (arctan x) = x]
Différenciez maintenant les deux côtés par rapport à x
d/dx (tan y) = d/dx(x)
d/dx(bronzage y) = 1 [comme d/dx(x) = 1]
En appliquant la règle de la chaîne pour différencier tan y par rapport à x, nous obtenons
d/dx(tan y) = sec 2 y · dy/dx = 1
dy/dx = 1/s 2 et
dy/dx = 1/ 1 + bronzage 2 y [comme sec 2 y = 1 + bronzage 2 et]
Maintenant, nous savons que tan y = x, en remplaçant la valeur dans l'équation ci-dessus, nous obtenons
dy/dx = 1/ 1 + x 2
Dérivé d'Arctan x par méthode de différenciation implicite
Le dérivé de l'arctan x peut être prouvé en utilisant la méthode de différenciation implicite. Nous utiliserons les formules trigonométriques de base répertoriées ci-dessous :
- seconde 2 x = ( 1 + bronzage 2 X )
- Si y = arctan x ⇒ x = tan y et x 2 = donc 2 et
Commençons la preuve de la dérivée d'arctan x , supposons que f(x) = y = arctan X
Par méthode de différenciation implicite
f(x) = y = arctan X
⇒ x = tan y
Prendre la dérivée des deux côtés par rapport à x
⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]
⇒ 1 = d/dx[tany]
Multiplier et diviser le membre de droite par dy
⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy
⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx
⇒ 1 = seconde 2 y × dy/dx
⇒ dx/dy = ( 1+tan 2 y) [Comme sec 2 x = ( 1 + bronzage 2 X )]
⇒ dy/dx = 1/( 1+tan 2 et )
⇒ dy/dx = 1/( 1 + x 2 ) = f'(x)
Donc f'(x) = 1/ ( 1+x 2 )
Dérivé d'Arctan x par le premier principe
Pour prouver la dérivée d'arctan x en utilisant le premier principe de dérivée, nous utiliserons les limites de base et les formules trigonométriques répertoriées ci-dessous :
- lim h → 0 arctan x/x = 1
- arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]
Commençons la preuve de la dérivée d'arctan x
nous avons arctan(x) = y
Appliquez la définition de la dérivée que nous obtenons
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}
frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1
frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}
Vérifiez également
- Dérivée des fonctions trigonométriques inverses
- Formules de différenciation
- Identités trigonométriques inverses
Exemples sur le dérivé d'Arctan x
Exemple 1 : Trouvez la dérivée de la fonction f(x) = arctan(3x).
Solution:
Nous utiliserons la règle de la chaîne, qui stipule que si g(x) est différentiable en x et f(x) = arctan (g(x)), alors la dérivée f'(x) est donnée par :
f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] 2 )
Dans ce cas, g(x) = 3x, donc g'(X) = 3. Application de la formule de la règle de chaîne :
f'(x) = 3/(1+(3x) 2 )
f'(x) = 3/(1+9x 2 )
Exemple 2 : Trouver la dérivée de la fonction h(x) = tan -1 (x/2)
Solution:
Nous utiliserons la règle de la chaîne selon laquelle f(x) = tan -1 (g(x)), alors la dérivée f'(x) est donnée par :
f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] 2 )
Dans ce cas, g(x) = x/2, donc g'(X) = 1/2. Application de la formule de la règle de chaîne :
f'(x) = (1/2)/(1+(x/2) 2 )
f'(x) = (1/2)/(1+x 2 /4)
En simplifiant, nous obtenons,
f'(x) = 2/(4+x 2 )
Exemple 3 : Trouver la dérivée de f(x) = arctan (2x 2 )
Solution:
Nous utiliserons la règle de la chaîne, qui stipule que si g(x) est différentiable en x et f(x) = arctan (g(x)), alors la dérivée f'(x) est donnée par :
f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)] 2 )
Dans ce cas, g(x) = 2x 2 , donc g'(X) = 4x.
Application de la formule de la règle de chaîne :
f'(x) = 4x/(1+(2x 2 ) 2 )
f'(x) = 4x/(1+4x 4 )
f'(x) = d/dx(arctan (2x 2 )) = 4x/(1+4x 4 )
Questions pratiques sur le dérivé d'Arctan x
Q.1 : Trouver la dérivée de la fonction f(x) = x 2 arcane (2x)
Q.2 : Trouver la dérivée de la fonction k(x) = arctan (X 3 +2x)
Q.3 : Trouver la dérivée de la fonction p(x) = x arctan(x 2 +1)
Q.4 : Trouver la dérivée de la fonction f(x) = arctan (x)/1+x
Q.5 : Trouver la dérivée de la fonction r(x) = arctan (4x)
En savoir plus,
- Dérivée en mathématiques
- Dérivée de tan inverse x
- Arctan
Dérivé d’Arctan x – FAQ
Qu’est-ce que la dérivée en mathématiques ?
En mathématiques, les dérivées mesurent la façon dont une fonction change à mesure que son entrée (variable indépendante) change. La dérivée d'une fonction f(x) est notée f'(x) ou (d /dx)[f(x)].
Qu'est-ce que le dérivé du bronzage -1 (X)?
Dérivé du bronzage -1 (x) par rapport à x est 1/1+x 2
Qu’est-ce que l’inverse de tan x ?
Arctan est l'inverse de la fonction tan et c'est l'une des fonctions trigonométriques inverses. Elle est également connue sous le nom de fonction arctan.
Qu'est-ce que la règle de chaîne dans Arctan (X)?
La règle de chaîne est une règle de différenciation. Pour arctan (u), la règle de chaîne stipule que si f(x) = arctan(u), alors f'(x) = (1/1+u 2 )× du/dx. En appliquant cela à arctan(x), où u=x, donne 1/1+x 2
Quelle est la dérivée de f(x) = x tan -1 (X)?
Dérivée de f(x) = xtan -1 (x) peut être trouvé en utilisant la règle du produit. Le résultat est donc -1 (x) + {x/(1 + x 2 )} .
Qu’est-ce que l’anti-dérivé d’Arctan x ?
La primitive de arctan x est donnée par ∫tan -1 x dx = x bronzage -1 x – ½ ln |1+x 2 | +C.
Qu’est-ce que le dérivé ?
La dérivée de la fonction est définie comme le taux de changement de la fonction par rapport à une variable indépendante.
