Sei L eine nicht leere Menge, die durch zwei binäre Operationen namens „Meet“ und „Join“ geschlossen wird und mit ∧ und ∨ bezeichnet wird. Dann heißt L ein Verband, wenn die folgenden Axiome gelten, wobei a, b, c Elemente in L sind:

1) Kommutativgesetz: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Assoziatives Gesetz:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Absorptionsgesetz: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Dualität:

Das Dual einer Aussage in einem Verband (L,∧,∨) ist definiert als eine Aussage, die durch Vertauschen von ∧ und ∨ erhalten wird.

Zum Beispiel , das Dual von a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a ist a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Begrenzte Gitter:

Ein Gitter L heißt ein begrenztes Gitter, wenn es das größte Element 1 und das kleinste Element 0 hat.

Beispiel:

1. Die Potenzmenge P(S) der Menge S unter den Operationen Schnitt und Vereinigung ist ein beschränkter Verband, da ∅ das kleinste Element von P(S) und die Menge S das größte Element von P(S) ist.
2. Die Menge der +ve ganzen Zahl I ₊ unter der üblichen Ordnung von ≦ ist kein begrenztes Gitter, da es ein kleinstes Element 1 hat, das größte Element jedoch nicht existiert.

Eigenschaften begrenzter Gitter:

Wenn L ein begrenztes Gitter ist, dann haben wir für jedes Element a ∈ L die folgenden Identitäten:

1. a ∨ 1 = 1
2. ein ∧1= ein
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Satz: Beweisen Sie, dass jedes endliche Gitter L = {a ₁ ,A ₂ ,A ₃ ....A _N } ist begrenzt.

Nachweisen: Wir haben das endliche Gitter angegeben:

L = {a ₁ ,A ₂ ,A ₃ ....A _N }

Somit ist das größte Element des Gitters L a ₁ ∨ a ₂ ∨ a _{3∨....∨a N .}

Außerdem ist das kleinste Element des Gitters L a ₁ ∧ a ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _N .

Denn für jedes endliche Gitter gibt es das größte und das kleinste Element. Daher ist L beschränkt.

Untergitter:

Betrachten Sie eine nicht leere Teilmenge L ₁ eines Gitters L. Dann ist L ₁ heißt Untergitter von L, wenn L ₁ selbst ist ein Verband, d. h. die Operation von L, d. h. a ∨ b ∈ L ₁ und a ∧ b ∈ L ₁ wann immer a ∈ L ₁ und b ∈ L ₁ .

Beispiel: Betrachten Sie den Verband aller +ve ganzen Zahlen I ₊ unter der Operation der Teilbarkeit. Das Gitter D _N aller Teiler von n > 1 ist ein Unterverband von I ₊ .

Bestimmen Sie alle Untergitter von D ₃₀ die mindestens vier Elemente enthalten, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Lösung: Die Untergitter von D ₃₀ die mindestens vier Elemente enthalten, sind wie folgt:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Isomorphe Gitter:

Zwei Gitter L ₁ und ich ₂ heißen isomorphe Gitter, wenn es eine Bijektion von L gibt ₁ zu L ₂ d. h. f: L ₁ ⟶ L ₂ , so dass f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) und f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Beispiel: Bestimmen Sie, ob die in Abb. gezeigten Gitter isomorph sind.

Lösung: Die in Abb. gezeigten Gitter sind isomorph. Betrachten Sie die Abbildung f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Zum Beispiel f (b ∧ c) = f (a) = 1. Auch wir Es gilt f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Verteilungsgitter:

Ein Gitter L wird als Verteilungsgitter bezeichnet, wenn es für alle Elemente a, b und c von L die folgenden Verteilungseigenschaften erfüllt:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Erfüllt das Gitter L die oben genannten Eigenschaften nicht, spricht man von einem nichtdistributiven Gitter.

Beispiel:

1. Die Potenzmenge P (S) der Menge S unter der Operation von Schnitt und Vereinigung ist eine Verteilungsfunktion. Seit,
   a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   und außerdem a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) für alle Mengen a, b und c von P(S).
2. Das in Abb. II gezeigte Gitter ist ein Verteilungsgitter. Da es die Verteilungseigenschaften für alle geordneten Tripel erfüllt, die aus 1, 2, 3 und 4 entnommen werden.

Komplemente und ergänzte Verbände:

Sei L ein begrenztes Gitter mit der unteren Grenze o und der oberen Grenze I. Sei a ein Element, wenn L. Ein Element x in L heißt Komplement von a, wenn a ∨ x = I und a ∧ x = 0

Ein Gitter L heißt komplementär, wenn L beschränkt ist und jedes Element in L ein Komplement hat.

Beispiel: Bestimmen Sie das Komplement von a und c in Abb.:

Lösung: Das Komplement von a ist d. Da a ∨ d = 1 und a ∧ d = 0

Das Komplement von c existiert nicht. Da es kein Element c gibt, so dass c ∨ c'=1 und c ∧ c'= 0.

Modulares Gitter:

Ein Gitter (L, ∧,∨) heißt modulares Gitter, wenn a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c, wann immer a ≦ c.

Direktes Produkt von Gittern:

Sei (L ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ )und ich ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) zwei Gitter sein. Dann ist (L, ∧,∨) das direkte Produkt von Gittern, wobei L = L ₁ x L ₂ wobei die binären Operationen ∨(verbinden) und ∧(treffen) auf L so sind, dass für jedes (a ₁ ,B ₁ )und ein ₂ ,B ₂ ) in L.

(A ₁ ,B ₁ )∨( a ₂ ,B ₂ )=(a ₁ ∨ ₁ A ₂ ,B ₁ ∨ ₂ B ₂ )
und ein ₁ ,B ₁ ) ∧ ( ein ₂ ,B ₂ )=(a ₁ ∧ ₁ A ₂ ,B ₁ ∧ ₂ B ₂ ).

Beispiel: Betrachten Sie ein Gitter (L, ≦), wie in Abb. gezeigt. wobei L = {1, 2}. Bestimmen Sie die Gitter (L ² , ≦), wobei L ² =L x L.

Lösung: Das Gitter (L ² , ≦) ist in Abb. dargestellt: