logo

TechCodeview

Mathematisch

Ermitteln der Anzahl der Dreiecke zwischen horizontalen und vertikalen Liniensegmenten

Voraussetzungen: BISSCHEN  Bei gegebenen „n“ Liniensegmenten, von denen jedes entweder horizontal oder vertikal ist, ermitteln Sie die maximale Anzahl von Dreiecken (einschließlich Dreiecken mit der Fläche Null), die durch Verbinden der Schnittpunkte der Liniensegmente gebildet werden können. Es überlappen sich weder zwei horizontale Liniensegmente noch zwei vertikale Liniensegmente. Eine Linie wird durch zwei Punkte dargestellt (vier ganze Zahlen, die ersten beiden sind die x- bzw. y-Koordinaten für den ersten Punkt und die anderen beiden sind die x- bzw. y-Koordinaten für den zweiten Punkt). Beispiele: 

 | ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be    4C   3     triangles.

Die Idee basiert auf Sweep-Line-Algorithmus . Schrittweise Erstellung einer Lösung:

  1. Speichern Sie beide Punkte aller Liniensegmente mit dem entsprechenden Ereignis (unten beschrieben) in einem Vektor und sortieren Sie alle Punkte in nicht absteigender Reihenfolge ihrer x-Koordinaten.
  2. Stellen wir uns nun eine vertikale Linie vor, die wir über alle diese Punkte ziehen, und beschreiben drei Ereignisse basierend darauf, an welchem ​​Punkt wir uns gerade befinden:
      In - Punkt ganz links auf einem horizontalen Liniensegment aus - Punkt ganz rechts eines horizontalen Liniensegments
    • A vertikale Linie
  3. Wir nennen die Region 'aktiv' oder die horizontalen Linien 'aktiv' die die erste Veranstaltung hatten, aber nicht die zweite. Wir werden einen BIT (Binary Indexed Tree) haben, um die Y-Koordinaten aller aktiven Linien zu speichern.
  4. Sobald eine Leitung inaktiv wird, entfernen wir ihr „y“ aus dem BIT.
  5. Wenn ein Ereignis der dritten Art auftritt, also wenn wir uns an einer vertikalen Linie befinden, fragen wir den Baum im Bereich seiner „y“-Koordinaten ab und addieren das Ergebnis zur Anzahl der bisherigen Schnittpunkte.
  6. Schließlich wollen wir noch die Anzahl der Schnittpunkte angeben M dann beträgt die Anzahl der Dreiecke (einschließlich der Nullfläche). M C 3 .

Notiz: Wir müssen die Punkte sorgfältig sortieren cmp() Funktion in der Umsetzung zur Verdeutlichung. 

CPP 
   // A C++ implementation of the above idea   #include     #define maxy 1000005   #define maxn 10005   using     namespace     std  ;   // structure to store point   struct     point   {      int     x       y  ;      point  (  int     a       int     b  )      {      x     =     a       y     =     b  ;      }   };   // Note: Global arrays are initially zero   // array to store BIT and vector to store   // the points and their corresponding event number   // in the second field of the pair   int     bit  [  maxy  ];   vector  &  lt  ;  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  gt  ;     events  ;   // compare function to sort in order of non-decreasing   // x coordinate and if x coordinates are same then   // order on the basis of events on the points   bool     cmp  (  pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  a       pair  &  lt  ;  point       int  &  gt  ;     &  amp  ;  b  )   {      if     (     a  .  first  .  x     !=     b  .  first  .  x     )      return     a  .  first  .  x     &  lt  ;     b  .  first  .  x  ;      //if the x coordinates are same      else      {      // both points are of the same vertical line      if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if an 'in' event occurs before 'vertical'      // line event for the same x coordinate      else     if     (  a  .  second     ==     1     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     true  ;      }      // if a 'vertical' line comes before an 'in'      // event for the same x coordinate swap them      else     if     (  a  .  second     ==     3     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     1  )      {      return     false  ;      }      // if an 'out' event occurs before a 'vertical'      // line event for the same x coordinate swap.      else     if     (  a  .  second     ==     2     &  amp  ;  &  amp  ;     b  .  second     ==     3  )      {      return     false  ;      }      //in all other situations      return     true  ;      }   }   // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate   // in an active region while update(y -1) removes it   void     update  (  int     idx       int     val  )   {      while     (  idx     &  lt  ;     maxn  )      {      bit  [  idx  ]     +=     val  ;      idx     +=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }   }   // returns the number of lines in active region whose y   // coordinate is between 1 and idx   int     query  (  int     idx  )   {      int     res     =     0  ;      while     (  idx     &  gt  ;     0  )      {      res     +=     bit  [  idx  ];      idx     -=     idx     &  amp  ;     (  -  idx  );      }      return     res  ;   }   // inserts a line segment   void     insertLine  (  point     a       point     b  )   {      // if it is a horizontal line      if     (  a  .  y     ==     b  .  y  )      {      int     beg     =     min  (  a  .  x       b  .  x  );      int     end     =     max  (  a  .  x       b  .  x  );      // the second field in the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  beg       a  .  y  )     1  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  end       a  .  y  )     2  ));      }      //if it is a vertical line      else      {      int     up     =     max  (  b  .  y       a  .  y  );      int     low     =     min  (  b  .  y       a  .  y  );      //the second field of the pair is the event number      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       up  )     3  ));      events  .  push_back  (  make_pair  (  point  (  a  .  x       low  )     3  ));      }   }   // returns the number of intersection points between all   // the lines vertical and horizontal to be run after the   // points have been sorted using the cmp() function   int     findIntersectionPoints  ()   {      int     intersection_pts     =     0  ;      for     (  int     i     =     0     ;     i     &  lt  ;     events  .  size  ()     ;     i  ++  )      {      //if the current point is on an 'in' event      if     (  events  [  i  ].  second     ==     1  )      {      //insert the 'y' coordinate in the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       1  );      }      // if current point is on an 'out' event      else     if     (  events  [  i  ].  second     ==     2  )      {      // remove the 'y' coordinate from the active region      update  (  events  [  i  ].  first  .  y       -1  );      }      // if the current point is on a 'vertical' line      else      {      // find the range to be queried      int     low     =     events  [  i  ++  ].  first  .  y  ;      int     up     =     events  [  i  ].  first  .  y  ;      intersection_pts     +=     query  (  up  )     -     query  (  low  );      }      }      return     intersection_pts  ;   }   // returns (intersection_pts)C3   int     findNumberOfTriangles  ()   {      int     pts     =     findIntersectionPoints  ();      if     (     pts     &  gt  ;  =     3     )      return     (     pts     *     (  pts     -     1  )     *     (  pts     -     2  )     )     /     6  ;      else      return     0  ;   }   // driver code   int     main  ()   {      insertLine  (  point  (  2       1  )     point  (  2       9  ));      insertLine  (  point  (  1       7  )     point  (  6       7  ));      insertLine  (  point  (  5       2  )     point  (  5       8  ));      insertLine  (  point  (  3       4  )     point  (  6       4  ));      insertLine  (  point  (  4       3  )     point  (  4       5  ));      insertLine  (  point  (  7       6  )     point  (  9       6  ));      insertLine  (  point  (  8       2  )     point  (  8       5  ));      // sort the points based on x coordinate      // and event they are on      sort  (  events  .  begin  ()     events  .  end  ()     cmp  );      cout     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;  Number     of     triangles     are  :     &  quot  ;     &  lt  ;  &  lt  ;      findNumberOfTriangles  ()     &  lt  ;  &  lt  ;     &  quot  ;    n  &  quot  ;;      return     0  ;   }

Ausgabe: 

Number of triangles are: 4 
Time Complexity:   O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )

Hilfsraum: O(maxy), wobei maxy = 1000005


Aktie

Das Könnte Ihnen Gefallen

So sortieren Sie Zeilen in Textdateien unter Linux | sort-Befehl

So sortieren Sie Zeilen in Textdateien unter Linux | sort-Befehl

Text in GIMP

Text in GIMP

Top Artikel

Kategorie

Blog Java-Konvertierung Mathe Java-Sammlungen Unterschiede Java-String

Interessante Artikel