Binomiale Zufallsvariablen
In diesem Beitrag besprechen wir binomiale Zufallsvariablen.
Voraussetzung: Zufallsvariablen
Eine bestimmte Art von diskret Zufallsvariable, die zählt, wie oft ein bestimmtes Ereignis in einer festgelegten Anzahl von Versuchen oder Versuchen auftritt.
Damit eine Variable eine binomiale Zufallsvariable ist, müssen ALLE der folgenden Bedingungen erfüllt sein:
- Es gibt eine feste Anzahl von Versuchen (eine feste Stichprobengröße).
- Bei jedem Versuch tritt das interessierende Ereignis entweder ein oder nicht.
- Die Eintrittswahrscheinlichkeit (oder auch nicht) ist bei jedem Versuch gleich.
- Die Prüfungen sind voneinander unabhängig.
Mathematische Notationen
n = number of trials
p = probability of success in each trial
k = number of success in n trials
Jetzt versuchen wir die Wahrscheinlichkeit für k Erfolg in n Versuchen herauszufinden.
Hier ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch p, unabhängig von anderen Versuchen.
Wir wählen also zunächst k Versuche aus, bei denen es einen Erfolg geben wird, und bei den übrigen n-k Versuchen wird es einen Misserfolg geben. Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun
Da alle n Ereignisse unabhängig sind, entspricht die Wahrscheinlichkeit von k Erfolg in n Versuchen der Multiplikation der Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch.
Hier sind es k Erfolg und n-k Misserfolge. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg, k Erfolg und n-k Misserfolg zu erzielen, beträgt also
Daher ist die endgültige Wahrscheinlichkeit
(number of ways to achieve k success
and n-k failures)
*
(probability for each way to achieve k
success and n-k failure)
Dann ist die binomiale Zufallsvariablenwahrscheinlichkeit gegeben durch:
Sei X eine binomiale Zufallsvariable mit der Anzahl der Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch p.
Die erwartete Erfolgszahl wird durch angegeben
E[X] = np
Die Varianz der Erfolgszahl ist gegeben durch
Var[X] = np(1-p)
Beispiel 1 : Stellen Sie sich ein Zufallsexperiment vor, bei dem eine voreingenommene Münze (Kopfwahrscheinlichkeit = 1/3) zehnmal geworfen wird. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der erscheinenden Köpfe 5 beträgt.
Lösung :
Let X be binomial random variable
with n = 10 and p = 1/3
P(X=5) = ?
Hier ist die Implementierung dafür
C++
Java// C++ program to compute Binomial Probability #include#include using namespace std ; // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code int main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); cout < < 'Probability of ' < < k ; cout < < ' heads when a coin is tossed ' < < n ; cout < < ' times where probability of each head is ' < < p < < endl ; cout < < ' is = ' < < probability < < endl ; } Python3// Java program to compute Binomial Probability import java.util.* ; class GFG { // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . pow ( p k ) * ( float ) Math . pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void main ( String [] args ) { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); System . out . print ( 'Probability of ' + k ); System . out . print ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); System . out . println ( ' times where probability of each head is ' + p ); System . out . println ( ' is = ' + probability ); } } /* This code is contributed by Mr. Somesh Awasthi */C## Python3 program to compute Binomial # Probability # function to calculate nCr i.e. # number of ways to choose r out # of n objects def nCr ( n r ): # Since nCr is same as nC(n-r) # To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ): r = n - r ; answer = 1 ; for i in range ( 1 r + 1 ): answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; return answer ; # function to calculate binomial r.v. # probability def binomialProbability ( n k p ): return ( nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k )); # Driver code n = 10 ; k = 5 ; p = 1.0 / 3 ; probability = binomialProbability ( n k p ); print ( 'Probability of' k 'heads when a coin is tossed' end = ' ' ); print ( n 'times where probability of each head is' round ( p 6 )); print ( 'is = ' round ( probability 6 )); # This code is contributed by mitsJavaScript// C# program to compute Binomial // Probability. using System ; class GFG { // function to calculate nCr // i.e. number of ways to // choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as // nC(n-r) To decrease // number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial // r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . Pow ( p k ) * ( float ) Math . Pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void Main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); Console . Write ( 'Probability of ' + k ); Console . Write ( ' heads when a coin ' + 'is tossed ' + n ); Console . Write ( ' times where ' + 'probability of each head is ' + p ); Console . Write ( ' is = ' + probability ); } } // This code is contributed by nitin mittal.PHP< script > // Javascript program to compute Binomial Probability // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects function nCr ( n r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; let answer = 1 ; for ( let i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability function binomialProbability ( n k p ) { return nCr ( n k ) * Math . pow ( p k ) * Math . pow ( 1 - p n - k ); } // driver program let n = 10 ; let k = 5 ; let p = 1.0 / 3 ; let probability = binomialProbability ( n k p ); document . write ( 'Probability of ' + k ); document . write ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); document . write ( ' times where probability of each head is ' + p ); document . write ( ' is = ' + probability ); // This code is contributed by code_hunt. < /script>Ausgabe:
Probability of 5 heads when a coin is tossed 10 times where probability of each head is 0.333333
is = 0.136565Quiz erstellen
