Topologisk sortering
Topologisk sortering til Instrueret acyklisk graf (DAG) er en lineær rækkefølge af toppunkter, således at for hver rettet kant u-v, toppunkt i kommer før i i bestillingen.
Bemærk: Topologisk sortering for en graf er ikke mulig, hvis grafen ikke er en DAG .
Eksempel:
Anbefalet praksis DFS baseret løsning til at finde en topologisk sortering er allerede blevet diskuteret.Input: Graf:
![]()
Eksempel
Produktion: 5 4 2 3 1 0
Forklaring: Det første toppunkt i topologisk sortering er altid et toppunkt med en in-grad på 0 (et toppunkt uden indgående kanter). En topologisk sortering af følgende graf er 5 4 2 3 1 0. Der kan være mere end én topologisk sortering for en graf. En anden topologisk sortering af følgende graf er 4 5 2 3 1 0.
Topologisk rækkefølge er muligvis ikke unik:
Topologisk sortering er et afhængighedsproblem, hvor fuldførelsen af en opgave afhænger af afslutningen af flere andre opgaver, hvis rækkefølge kan variere. Lad os forstå dette koncept via et eksempel:
Antag, at vores opgave er at nå vores skole, og for at nå dertil, skal vi først klæde os på. Afhængighederne af at bære tøj er vist i nedenstående afhængighedsgraf. For eksempel kan du ikke have sko på, før du har sokker på.
![]()
Fra ovenstående billede ville du allerede have indset, at der findes flere måder at klæde sig på, billedet nedenfor viser nogle af disse måder.
![]()
Kan du liste al mulig topologisk rækkefølge at klæde sig på til ovenstående afhængighedsgraf?
Algoritme til topologisk sortering ved hjælp af DFS:
Her er en trin-for-trin algoritme til topologisk sortering ved hjælp af Depth First Search (DFS):
- Lav en graf med n hjørner og m -rettede kanter.
- Initialiser en stak og en besøgt række af størrelse n .
- For hvert ubesøgt toppunkt i grafen skal du gøre følgende:
- Kald DFS-funktionen med toppunktet som parameter.
- I DFS-funktionen skal du markere toppunktet som besøgt og rekursivt kalde DFS-funktionen for alle ubesøgte naboer til toppunktet.
- Når alle naboerne er blevet besøgt, skubbes toppunktet på stakken.
- Når alt kommer til alt, er hjørner blevet besøgt, pop elementer fra stakken og føj dem til outputlisten, indtil stakken er tom.
- Den resulterende liste er den topologisk sorterede rækkefølge af grafen.
Illustration Topologisk sorteringsalgoritme:
Nedenstående billede er en illustration af ovenstående fremgangsmåde:
Overordnet arbejdsgang af topologisk sortering
Trin 1:
- Vi starter DFS fra node 0, fordi den har nul indgående noder
- Vi skubber node 0 i stakken og flytter til næste node med minimum antal tilstødende noder, dvs. node 1.
![]()
Trin 2:
- I dette trin, fordi der ikke er nogen ved siden af denne node, så skub node 1 i stakken og flyt til næste node.
![]()
Trin 3:
- I dette trin vælger vi node 2, fordi den har minimum antal tilstødende noder efter 0 og 1.
- Vi kalder DFS for node 2 og skubber alle de noder, som kommer i gennemløb fra node 2 i omvendt rækkefølge.
- Så tryk 3 og derefter 2.
![]()
Trin 4:
- Vi kalder nu DFS for node 4
- Fordi 0 og 1 allerede er til stede i stakken, så vi skubber bare node 4 i stakken og vender tilbage.
![]()
Trin 5:
- I dette trin, fordi alle de tilstødende noder på 5 allerede er i stakken, skubber vi node 5 i stakken og vender tilbage.
![]()
Trin 6: Dette er det sidste trin i den topologiske sortering, hvor vi henter alt element fra stakken og udskriver det i den rækkefølge.
Nedenfor er implementeringen af ovenstående tilgang:
C++ #include using namespace std; // Function to perform DFS and topological sorting void topologicalSortUtil(int v, vector >& adj, vektor & besøgt, stak & Stack) { // Marker den aktuelle node som besøgt besøgt[v] = sand; // Gentag for alle tilstødende hjørner for (int i : adj[v]) { if (!besøgt[i]) topologiskSortUtil(i, adj, besøgt, stak); } // Skub nuværende toppunkt til stak, som gemmer resultatet Stack.push(v); } // Funktion til at udføre Topologisk Sortering void topologicalSort(vector >& adj, int V) { stak Stak; // Stak for at gemme resultatvektoren besøgt(V, falsk); // Kald den rekursive hjælpefunktion for at gemme // Topologisk sortering startende fra alle hjørner en efter // en for (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, Stack); } // Print contents of stack while (!Stack.empty()) { cout < < Stack.top() < < ' '; Stack.pop(); } } int main() { // Number of nodes int V = 4; // Edges vector > kanter = { { 0, 1 }, { 1, 2 }, { 3, 1 }, { 3, 2 } }; // Graf repræsenteret som en nabolistevektor > adj(V); for (auto i : kanter) { adj[i[0]].push_back(i[1]); } cout < < 'Topological sorting of the graph: '; topologicalSort(adj, V); return 0; }
Java import java.util.*; public class TopologicalSort { // Function to perform DFS and topological sorting static void topologicalSortUtil(int v, List > adj, boolean[] besøgt, stak stack) { // Marker den aktuelle node som besøgt besøgt[v] = sand; // Gentag for alle tilstødende hjørner for (int i : adj.get(v)) { if (!besøgt[i]) topologiskSortUtil(i, adj, besøgt, stak); } // Skub det aktuelle toppunkt til stakken, som gemmer // resultatet stack.push(v); } // Funktion til at udføre Topologisk Sort statisk tomrum topologiskSort(List > adj, int V) { // Stak for at gemme resultatet Stak stak = ny stak(); boolean[] visited = new boolean[V]; // Kald den rekursive hjælpefunktion for at gemme // Topologisk sortering startende fra alle hjørner en // efter en for (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack System.out.print( 'Topological sorting of the graph: '); while (!stack.empty()) { System.out.print(stack.pop() + ' '); } } // Driver code public static void main(String[] args) { // Number of nodes int V = 4; // Edges List > edges = new ArrayList(); edges.add(Arrays.asList(0, 1)); edges.add(Arrays.asList(1, 2)); edges.add(Arrays.asList(3, 1)); edges.add(Arrays.asList(3, 2)); // Graf repræsenteret som en tilstødende liste Liste > adj = ny ArrayList(V); for (int i = 0; i < V; i++) { adj.add(new ArrayList()); } for (List i : edges) { adj.get(i.get(0)).add(i.get(1)); } topologiskSort(adj, V); } }
Python3 def topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack): # Mark the current node as visited visited[v] = True # Recur for all adjacent vertices for i in adj[v]: if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Push current vertex to stack which stores the result stack.append(v) # Function to perform Topological Sort def topologicalSort(adj, V): # Stack to store the result stack = [] visited = [False] * V # Call the recursive helper function to store # Topological Sort starting from all vertices one by # one for i in range(V): if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Print contents of stack print('Topological sorting of the graph:', end=' ') while stack: print(stack.pop(), end=' ') # Driver code if __name__ == '__main__': # Number of nodes V = 4 # Edges edges = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]] # Graph represented as an adjacency list adj = [[] for _ in range(V)] for i in edges: adj[i[0]].append(i[1]) topologicalSort(adj, V) C# using System; using System.Collections.Generic; class Program { // Function to perform DFS and topological sorting static void TopologicalSortUtil(int v, List > adj, bool[] besøgt, stak stack) { // Marker den aktuelle node som besøgt besøgt[v] = sand; // Gentages for alle tilstødende hjørner foreach(int i i adj[v]) { if (!besøgt[i]) TopologiskSortUtil(i, adj, besøgt, stak); } // Skub det aktuelle toppunkt til stakken, som gemmer // resultatstakken. Push(v); } // Funktion til at udføre Topologisk Sort statisk tomrum TopologiskSort(List > adj, int V) { // Stak for at gemme resultatet Stak stak = ny stak (); bool[] besøgt = ny bool[V]; // Kald den rekursive hjælpefunktion for at gemme // Topologisk sortering startende fra alle hjørner en // efter en for (int i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) TopologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack Console.Write('Topological sorting of the graph: '); while (stack.Count>0) { Console.Write(stack.Pop() + ' '); } } // Driverkode static void Main(string[] args) { // Antal noder int V = 4; // Kantliste > kanter = ny liste >{ ny liste { 0, 1 }, ny liste { 1, 2 }, ny liste { 3, 1 }, ny liste { 3, 2 } }; // Graf repræsenteret som en tilstødende liste Liste > adj = ny liste >(); for (int i = 0; i < V; i++) { adj.Add(new List ()); } foreach(Liste i i kanter) { adj[i[0]].Add(i[1]); } TopologiskSort(adj, V); } }
Javascript // Function to perform DFS and topological sorting function topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack) { // Mark the current node as visited visited[v] = true; // Recur for all adjacent vertices for (let i of adj[v]) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Push current vertex to stack which stores the result stack.push(v); } // Function to perform Topological Sort function topologicalSort(adj, V) { // Stack to store the result let stack = []; let visited = new Array(V).fill(false); // Call the recursive helper function to store // Topological Sort starting from all vertices one by // one for (let i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack console.log('Topological sorting of the graph: '); while (stack.length>0) { console.log(stack.pop() + ' '); } } // Driverkode (() => { // Antal noder const V = 4; // Edges const edges = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]]; // Graf repræsenteret som en adjacency liste const adj = Array.from({ length: V }, () => [] for (lad i af kanter) { adj[i[0]] (i[1]); } topologicalSort(adj, V })(); Produktion
Topological sorting of the graph: 3 0 1 2
Tidskompleksitet: O(V+E). Ovenstående algoritme er simpelthen DFS med en ekstra stak. Så tidskompleksitet er det samme som DFS
Hjælpeplads: O(V). Den ekstra plads er nødvendig til stakken
Topologisk sortering ved hjælp af BFS:
C++ #include #include #include using namespace std; // Class to represent a graph class Graph { int V; // No. of vertices list * adj; // Pointer til et array, der indeholder // adjacency lists public: Graph(int V); // Konstruktør void addEdge(int v, int w); // Funktion til at tilføje en kant til grafen void topologicalSort(); // udskriver en topologisk sort af // hele grafen }; Graph::Graph(int V) { this->V = V; adj = ny liste [V]; } void Graph::addEdge(int v, int w) { adj[v].push_back(w); // Tilføj w til vs liste. } // Funktion til at udføre Topological Sort void Graph::topologicalSort() { // Opret en vektor til at gemme i-grad af alle toppunkter vektor in_degree(V, 0); // Gå gennem tilgrænsende lister for at udfylde_grad af // hjørnepunkter for (int v = 0; v < V; ++v) { for (auto const& w : adj[v]) in_degree[w]++; } // Create a queue and enqueue all vertices with // in-degree 0 queue q; for (int i = 0; i < V; ++i) { if (in_degree[i] == 0) q.push(i); } // Initialize count of visited vertices int count = 0; // Create a vector to store topological order vector top_ordre; // En efter en dequeue vertices from queue and enqueue // adjacent vertices if in-degree of adjacent bliver 0 mens (!q.empty()) { // Udtræk foran i køen (eller udfør dequeue) // og føj det til topologisk rækkefølge int u = q.front(); q.pop(); top_order.push_back(u); // Iterer gennem alle dens tilstødende noder // af udeladt node u og sænk deres in-grad // med 1 liste ::iterator itr; for (itr = adj[u].begin(); itr != adj[u].end(); ++itr) // Hvis in-degree bliver nul, føj det til køen hvis (--in_degree[*itr) ] == 0) q.push(*itr); tælle++; } // Tjek om der var en cyklus hvis (tæl != V) { cout < < 'Graph contains cycle
'; return; } // Print topological order for (int i : top_order) cout < < i < < ' '; } // Driver code int main() { // Create a graph given in the above diagram Graph g(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); cout < < 'Following is a Topological Sort of the given ' 'graph
'; g.topologicalSort(); return 0; } Java import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.Queue; // Class to represent a graph class Graph { private int V; // No. of vertices private ArrayList [] adj; // Adjacency list // repræsentation af // grafen // Constructor Graph(int V) { this.V = V; adj = ny ArrayList[V]; for (int i = 0; i < V; ++i) adj[i] = new ArrayList(); } // Function to add an edge to the graph void addEdge(int v, int w) { adj[v].add(w); // Add w to v’s list. } // Function to perform Topological Sort void topologicalSort() { // Create an array to store in-degree of all // vertices int[] inDegree = new int[V]; // Calculate in-degree of each vertex for (int v = 0; v < V; ++v) { for (int w : adj[v]) { inDegree[w]++; } } // Create a queue and enqueue all vertices with // in-degree 0 Queue q = new LinkedList(); for (int i = 0; i < V; ++i) { if (inDegree[i] == 0) q.add(i); } // Initialize count of visited vertices int count = 0; // Create an ArrayList to store topological order ArrayList topOrder = new ArrayList(); // En efter en dequeue vertices fra køen og // sæt tilstødende vertices, hvis in-degree af // adjacent bliver 0 mens (!q.isEmpty()) { // Udtræk forsiden af køen og tilføj det til // topologisk rækkefølge int u = q.poll(); topOrder.add(u); tælle++; // Iterer gennem alle dens tilstødende noder af // dequeued node u og reducer deres in-degree // med 1 for (int w : adj[u]) { // Hvis in-degree bliver nul, føj det til // køen if (-inDegree[w] == 0) q.add(w); } } // Tjek om der var en cyklus if (tæl != V) { System.out.println('Graf indeholder cyklus'); Vend tilbage; } // Udskriv topologisk rækkefølge for (int i : topOrder) System.out.print(i + ' '); } } // Driver code public class Main { public static void main(String[] args) { // Opret en graf givet i ovenstående diagram Graph g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); System.out.println( 'Følgende er en topologisk sortering af den givne graf'); g.topologicalSort(); } } Python3 from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self, vertices): # Number of vertices self.V = vertices # Dictionary to store adjacency lists self.adj = defaultdict(list) def addEdge(self, u, v): # Function to add an edge to the graph self.adj[u].append(v) def topologicalSort(self): # Function to perform Topological Sort # Create a list to store in-degree of all vertices in_degree = [0] * self.V # Traverse adjacency lists to fill in_degree of vertices for i in range(self.V): for j in self.adj[i]: in_degree[j] += 1 # Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 q = [] for i in range(self.V): if in_degree[i] == 0: q.append(i) # Initialize count of visited vertices count = 0 # Create a list to store topological order top_order = [] # One by one dequeue vertices from queue and enqueue # adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while q: # Extract front of queue (or perform dequeue) # and add it to topological order u = q.pop(0) top_order.append(u) # Iterate through all its neighbouring nodes # of dequeued node u and decrease their in-degree # by 1 for node in self.adj[u]: # If in-degree becomes zero, add it to queue in_degree[node] -= 1 if in_degree[node] == 0: q.append(node) count += 1 # Check if there was a cycle if count != self.V: print('Graph contains cycle') return # Print topological order print('Topological Sort:', top_order) # Driver code if __name__ == '__main__': # Create a graph given in the above diagram g = Graph(6) g.addEdge(5, 2) g.addEdge(5, 0) g.addEdge(4, 0) g.addEdge(4, 1) g.addEdge(2, 3) g.addEdge(3, 1) print('Following is a Topological Sort of the given graph') g.topologicalSort() JavaScript // Class to represent a graph class Graph { constructor(V) { this.V = V; // No. of vertices this.adj = new Array(V); // Array containing adjacency lists for (let i = 0; i < V; i++) { this.adj[i] = []; } } // Function to add an edge to the graph addEdge(v, w) { this.adj[v].push(w); // Add w to v’s list. } // Function to perform Topological Sort topologicalSort() { // Create a array to store in-degree of all vertices let inDegree = new Array(this.V).fill(0); // Traverse adjacency lists to fill inDegree of vertices for (let v = 0; v < this.V; v++) { for (let w of this.adj[v]) { inDegree[w]++; } } // Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 let queue = []; for (let i = 0; i < this.V; i++) { if (inDegree[i] === 0) { queue.push(i); } } // Initialize count of visited vertices let count = 0; // Create an array to store topological order let topOrder = []; // One by one dequeue vertices from queue and enqueue // adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while (queue.length !== 0) { // Extract front of queue and add it to topological order let u = queue.shift(); topOrder.push(u); // Iterate through all its neighboring nodes // of dequeued node u and decrease their in-degree by 1 for (let w of this.adj[u]) { // If in-degree becomes zero, add it to queue if (--inDegree[w] === 0) { queue.push(w); } } count++; } // Check if there was a cycle if (count !== this.V) { console.log('Graph contains cycle'); return; } // Print topological order console.log('Topological Sort of the given graph:'); console.log(topOrder.join(' ')); } } // Driver code // Create a graph given in the above diagram let g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); console.log('Following is a Topological Sort of the given graph:'); g.topologicalSort(); //This code is contributed by Utkarsh Produktion
Following is a Topological Sort of the given graph 4 5 2 0 3 1
Tidskompleksitet:
Tidskompleksiteten for at konstruere grafen er O(V + E), hvor V er antallet af hjørner og E er antallet af kanter.
Tidskompleksiteten for at udføre topologisk sortering ved hjælp af BFS er også O(V + E), hvor V er antallet af hjørner og E er antallet af kanter. Dette skyldes, at hvert toppunkt og hver kant besøges én gang under BFS-gennemgangen.
Rumkompleksitet:
Rumkompleksiteten for lagring af grafen ved hjælp af en tilgrænsende liste er O(V + E), hvor V er antallet af hjørner og E er antallet af kanter.
Yderligere plads bruges til at gemme den in-grad af hjørner, som kræver O(V) plads.
En kø bruges til BFS-traversal, som højst kan indeholde V-spidser. Pladskompleksiteten for køen er således O(V).
Overordnet set er rumkompleksiteten af algoritmen O(V + E) på grund af lagringen af grafen, in-degree array og køen.
Sammenfattende er tidskompleksiteten af den leverede implementering O(V + E), og rumkompleksiteten er også O(V + E).
Bemærk: Her kan vi også bruge et array i stedet for stakken. Hvis arrayet bruges, så udskriv elementerne i omvendt rækkefølge for at få den topologiske sortering.
Fordele ved topologisk sortering:
- Hjælper med at planlægge opgaver eller begivenheder baseret på afhængigheder.
- Registrerer cyklusser i en rettet graf.
- Effektiv til at løse problemer med prioritetsbegrænsninger.
Ulemper ved topologisk sortering:
- Gælder kun for rettede acykliske grafer (DAG'er), ikke egnet til cykliske grafer.
- Er muligvis ikke unik, der kan eksistere flere gyldige topologiske rækkefølger.
- Ineffektiv til store grafer med mange noder og kanter.
Anvendelser af topologisk sort:
- Opgaveplanlægning og projektledelse.
- Afhængighedsløsning i pakkehåndteringssystemer.
- Bestemmelse af rækkefølgen af kompilering i softwarebyggesystemer.
- Deadlock-detektering i operativsystemer.
- Kursusplanlægning på universiteter.
Relaterede artikler:
- Kahns algoritme for topologisk sortering
- Alle topologiske sorter af en rettet acyklisk graf