I matematik er summeringen den grundlæggende tilføjelse af en sekvens af vilkårlige tal, kaldet addends eller summeringer; resultatet er deres sum eller total. I matematik kan tal, funktioner, vektorer, matricer, polynomier og generelt elementer i ethvert matematisk objekt associeres med en operation kaldet addition/summation, betegnet som +.

Summation af en eksplicit sekvens betegnes som en række tilføjelser. F.eks. kan summeringen af ​​(1, 3, 4, 7) med base betegnes 1 + 3 + 4 + 7, og resultatet for ovenstående notation er 15, det vil sige 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Fordi additionsoperationen er associativ såvel som kommutativ, der er ikke behov for parenteser, mens serien/sekvensen listes ned, og resultatet bliver det samme uanset rækkefølgen af ​​summanderne.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er Summation Formel?
• Hvor skal man bruge summeringsformlen?
• Egenskaber for opsummering
• Standard summeringsformler
• Eksempel på Summationsformel
• Ofte stillede spørgsmål om Summation Formula

Hvad er Summation Formel?

Summation eller sigma (∑) notation er en metode, der bruges til at udskrive en lang sum på en kortfattet måde. Denne notation kan knyttes til enhver formel eller funktion.

For eksempel, _i=1 ∑ ¹⁰ (i) er en sigma-notation af tilføjelsen af ​​den endelige sekvens 1 + 2 + 3 + 4…… + 10, hvor det første element er 1 og det sidste element er 10.

Opsummeringsformler

Hvor skal man bruge summeringsformlen?

Summationsnotation kan bruges i forskellige felter af matematik:

• Rækkefølge i serie
• Integration
• Sandsynlighed
• Permutation og kombination
• Statistikker

Bemærk: En summering er en kort form for gentagen tilføjelse. Vi kan også erstatte summering med en additionsløkke.

Egenskaber for opsummering

Ejendom 1

_i=1 ∑ ⁿ c = c + c + c + …. + c (n) gange = nc

For eksempel: Find værdien af _i=1 ∑ ⁴ c.

Ved at bruge egenskab 1 kan vi direkte beregne værdien af _i=1 ∑ ⁴ c som 4×c = 4c.

Ejendom 2

_c=1 ∑ ⁿ kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) gange = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ⁿ c

For eksempel: Find værdien af _i=1 ∑ ⁴ 5i.

Ved at bruge egenskab 2 og 1 kan vi direkte beregne værdi af _{i= 1} ∑ ⁴ 5i som 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Ejendom 3

_c=1 ∑ ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) gange = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ⁿ c

For eksempel: Find værdien af _i=1 ∑ ⁴ (5+i).

Ved at bruge egenskab 2 og 3 kan vi direkte beregne værdi af _i=1 ∑ ⁴ (5+i) som 5×4+ _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Ejendom 4

_k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k)+ _k=1 ∑ ⁿ g(k)

For eksempel: Find værdien af _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ).

Ved at bruge egenskab 4 kan vi direkte beregne værdi af _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) som _i=1 ∑ ⁴ i + _i=1 ∑ ⁴ jeg ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standard summeringsformler

Forskellige summeringsformler er,

Summen af ​​første n naturlige tal: (1+2+3+…+n) = _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n+1)]/2

Summen af ​​kvadratet af de første n naturlige tal: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (jeg ² ) = [n × (n+1) × (2n+1)]/6

Summen af ​​terning af første n naturlige tal: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (jeg ³ ) = [n ² ×(n +1) ² )]/4

Summen af ​​første n lige naturlige tal: (2+4+…+2n) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) = [n ×(n +1)]

Summen af ​​første n ulige naturlige tal: (1+3+…+2n-1) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) = n ²

Summen af ​​kvadratet af de første n lige naturlige tal: (2 ² +4 ² +…+(2n) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Summen af ​​kvadratet af første n ulige naturlige tal: (1 ² +3 ² +…+(2n-1) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Summen af ​​terning af første n lige naturlige tal: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

Summen af ​​terning af første n ulige naturlige tal: (1 ³ +3 ³ +…+(2n-1) ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ³ = n ² (2n ² - 1)

Relaterede artikler:

• Summen af ​​naturlige tal
• Sum i matematik
• Aritmetiske operationer
• Aritmetisk Progression og Geometrisk Progression

Eksempel på Summationsformel

Eksempel 1: Find summen af ​​de første 10 naturlige tal ved hjælp af summeringsformlen.

Løsning:

Brug af summeringsformlen for summen af ​​n naturlige tal _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n ×(n+1)]/2

Vi har summen af ​​de første 10 naturlige tal = _i=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Eksempel 2: Find summen af ​​10 første naturlige tal større end 5 ved hjælp af summeringsformlen.

Løsning:

Ifølge spørgsmålet:

Summen af ​​10 første naturlige tal større end 5 = _i=6 ∑ ^femten (jeg)

= _i=1 ∑ ^femten (i) – _i=1 ∑ ⁵ (jeg)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Eksempel 3: Find summen af ​​given endelig rækkefølge 1 ² + 2 ² + 3 ² +...8 ² .

Løsning:

Den givne rækkefølge er 1 ² + 2 ² + 3 ² +...8 ² , kan det skrives som _i=1 ∑ ⁸ jeg ² ved hjælp af egenskaben/formlen for summering

_i=1 ∑ ⁸ jeg ² = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Eksempel 4: Simplificere _c=1 ∑ ⁿ kc.

Løsning:

Givet summeringsformel = _c=1 ∑ ⁿ kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n led)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ⁿ kc = k _c=1 ∑ ⁿ c

Eksempel 5: Simplificere og vurdere x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Løsning:

Givet summering er _x=1 ∑ ⁿ (4+x)

Som vi ved det _c=1 ∑ ⁿ (k+c) = nk+ _c=1 ∑ ⁿ c

Givet summering kan forenkles som,

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (x)

Eksempel 6: Forenkle _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Løsning:

Givet summering er _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

som vi ved det _k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k)+ _k=1 ∑ ⁿ g(k)

givet summering kan forenkles som _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (x ² ).

Ofte stillede spørgsmål om Summation Formula

Hvad er summeringsformlen for naturlige tal?

Summen af ​​de naturlige tal fra 1 til n, findes ved hjælp af formlen n (n + 1) / 2. For eksempel er summen af ​​de første 100 naturlige tal 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Hvad er generel opsummeringsformel?

Generel summeringsformel, der bruges til at finde summen af ​​en sekvens {a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…,en _n } er, ∑a _jeg = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Hvordan bruger du ∑?

∑ er symbolet for summering og bruges til at finde summen af ​​serier.

Hvad er formlen for n-summation?

Formel for summen af ​​n naturligt tal er, Summen af ​​n tals formlen er [n(n+1)2]