Det mindste tal, der er deleligt med de første n tal
Prøv det på GfG Practice 
Produktion
Givet et nummer n find det mindste tal ligeligt deleligt med hvert tal 1 til n.
Eksempler:
Input : n = 4 Output : 12 Explanation : 12 is the smallest numbers divisible by all numbers from 1 to 4 Input : n = 10 Output : 2520 Input : n = 20 Output : 232792560
Hvis du nøje observerer år skal være LCM af tallene 1 til n .
For at finde LCM for tal fra 1 til n -
- Initialiser ans = 1.
- Iterér over alle tallene fra i = 1 til i = n.
Ved den i'te iteration ans = LCM(1 2 …….. i) . Dette kan gøres nemt som LCM(1 2 …. i) = LCM(ans i) .
Så ved første iteration skal vi bare gøre -
ans = LCM(ans i) = ans * i / gcd(ans i) [Using the below property a*b = gcd(ab) * lcm(ab)]C++
Bemærk: I C++ kode overskrider svaret hurtigt heltalsgrænsen selv den lange lange grænse.
Nedenfor er implementeringen af logikken.
Java// C++ program to find smallest number evenly divisible by // all numbers 1 to n #includeusing namespace std ; // Function returns the lcm of first n numbers long long lcm ( long long n ) { long long ans = 1 ; for ( long long i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans = ( ans * i ) / ( __gcd ( ans i )); return ans ; } // Driver program to test the above function int main () { long long n = 20 ; cout < < lcm ( n ); return 0 ; } Python// Java program to find the smallest number evenly divisible by // all numbers 1 to n class GFG { static long gcd ( long a long b ) { if ( a % b != 0 ) return gcd ( b a % b ); else return b ; } // Function returns the lcm of first n numbers static long lcm ( long n ) { long ans = 1 ; for ( long i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans = ( ans * i ) / ( gcd ( ans i )); return ans ; } // Driver program to test the above function public static void main ( String [] args ) { long n = 20 ; System . out . println ( lcm ( n )); } }C## Python program to find the smallest number evenly # divisible by all number 1 to n import math # Returns the lcm of first n numbers def lcm ( n ): ans = 1 for i in range ( 1 n + 1 ): ans = int (( ans * i ) / math . gcd ( ans i )) return ans # main n = 20 print ( lcm ( n ))Javascript// C# program to find smallest number // evenly divisible by // all numbers 1 to n using System ; public class GFG { static long gcd ( long a long b ) { if ( a % b != 0 ) return gcd ( b a % b ); else return b ; } // Function returns the lcm of first n numbers static long lcm ( long n ) { long ans = 1 ; for ( long i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans = ( ans * i ) / ( gcd ( ans i )); return ans ; } // Driver program to test the above function static public void Main (){ long n = 20 ; Console . WriteLine ( lcm ( n )); } //This code is contributed by akt_mit }PHP// Javascript program to find the smallest number evenly divisible by // all numbers 1 to n function gcd ( a b ) { if ( a % b != 0 ) return gcd ( b a % b ); else return b ; } // Function returns the lcm of first n numbers function lcm ( n ) { let ans = 1 ; for ( let i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans = ( ans * i ) / ( gcd ( ans i )); return ans ; } // function call let n = 20 ; console . log ( lcm ( n ));
Produktion232792560Tidskompleksitet: O(n log2n) da kompleksiteten af _gcd(ab) i c++ er log2n og det kører n gange i en løkke.
Hjælpeplads: O(1)
Ovenstående løsning fungerer fint for et enkelt input. Men hvis vi har flere input, er det en god idé at bruge Sieve of Eratosthenes til at gemme alle prime faktorer. Se venligst nedenstående artikel for Sieve-baseret tilgang.Fremgangsmåde: [Brug af Sigte af Eratosthenes ]
For at løse problemet med at finde det mindste tal, der er deleligt med de første 'n' tal på en mere effektiv måde, kan vi bruge Eratosthenes Sieve til at forudberegne primtallene op til 'n'. Så kan vi bruge disse primtal til at beregne det mindste fælles multiplum (LCM) mere effektivt ved at overveje de højeste potenser af hvert primtal, der er mindre end eller lig med 'n'.
Trin-for-trin tilgang:
- Generer primtal op til n: Brug Eratosthenes sigte til at finde alle primtal op til 'n'.
- Beregn LCM ved hjælp af disse primtal: Bestem for hvert primtal den højeste potens af det primtal, som er mindre end eller lig med 'n'. Multiplicer disse højeste potenser sammen for at få LCM
Nedenfor er implementeringen af ovenstående tilgang:
C++ #include #include #include using namespace std ; // Function to generate all prime numbers up to n using the // Sieve of Eratosthenes vector < int > sieve_of_eratosthenes ( int n ) { vector < bool > is_prime ( n + 1 true ); int p = 2 ; while ( p * p <= n ) { if ( is_prime [ p ]) { for ( int i = p * p ; i <= n ; i += p ) { is_prime [ i ] = false ; } } ++ p ; } vector < int > prime_numbers ; for ( int p = 2 ; p <= n ; ++ p ) { if ( is_prime [ p ]) { prime_numbers . push_back ( p ); } } return prime_numbers ; } // Function to find the smallest number divisible by all // numbers from 1 to n long long smallest_multiple ( int n ) { vector < int > primes = sieve_of_eratosthenes ( n ); long long lcm = 1 ; for ( int prime : primes ) { // Calculate the highest power of the prime that is // <= n int power = 1 ; while ( pow ( prime power + 1 ) <= n ) { ++ power ; } lcm *= pow ( prime power ); } return lcm ; } int main () { int n = 20 ; cout < < smallest_multiple ( n ) < < endl ; return 0 ; }
Java import java.util.ArrayList ; import java.util.List ; public class SmallestMultiple { // Function to generate all prime numbers up to n using // the Sieve of Eratosthenes public static List < Integer > sieveOfEratosthenes ( int n ) { boolean [] isPrime = new boolean [ n + 1 ] ; for ( int i = 0 ; i <= n ; i ++ ) { isPrime [ i ] = true ; } int p = 2 ; while ( p * p <= n ) { if ( isPrime [ p ] ) { for ( int i = p * p ; i <= n ; i += p ) { isPrime [ i ] = false ; } } p ++ ; } List < Integer > primeNumbers = new ArrayList <> (); for ( int i = 2 ; i <= n ; i ++ ) { if ( isPrime [ i ] ) { primeNumbers . add ( i ); } } return primeNumbers ; } // Function to find the smallest number divisible by all // numbers from 1 to n public static long smallestMultiple ( int n ) { List < Integer > primes = sieveOfEratosthenes ( n ); long lcm = 1 ; for ( int prime : primes ) { // Calculate the highest power of the prime that // is <= n int power = 1 ; while ( Math . pow ( prime power + 1 ) <= n ) { power ++ ; } lcm *= Math . pow ( prime power ); } return lcm ; } public static void main ( String [] args ) { int n = 20 ; System . out . println ( smallestMultiple ( n )); } }
Python import math def sieve_of_eratosthenes ( n ): '''Generate all prime numbers up to n.''' is_prime = [ True ] * ( n + 1 ) p = 2 while ( p * p <= n ): if ( is_prime [ p ] == True ): for i in range ( p * p n + 1 p ): is_prime [ i ] = False p += 1 prime_numbers = [ p for p in range ( 2 n + 1 ) if is_prime [ p ]] return prime_numbers def smallest_multiple ( n ): '''Find the smallest number divisible by all numbers from 1 to n.''' primes = sieve_of_eratosthenes ( n ) lcm = 1 for prime in primes : # Calculate the highest power of the prime that is <= n power = 1 while prime ** ( power + 1 ) <= n : power += 1 lcm *= prime ** power return lcm # Example usage: n = 20 print ( smallest_multiple ( n ))
JavaScript // Function to generate all prime numbers up to n using the // Sieve of Eratosthenes function sieveOfEratosthenes ( n ) { let isPrime = new Array ( n + 1 ). fill ( true ); let p = 2 ; while ( p * p <= n ) { if ( isPrime [ p ]) { for ( let i = p * p ; i <= n ; i += p ) { isPrime [ i ] = false ; } } p ++ ; } let primeNumbers = []; for ( let p = 2 ; p <= n ; p ++ ) { if ( isPrime [ p ]) { primeNumbers . push ( p ); } } return primeNumbers ; } // Function to find the smallest number divisible by all // numbers from 1 to n function smallestMultiple ( n ) { let primes = sieveOfEratosthenes ( n ); let lcm = 1 ; for ( let prime of primes ) { // Calculate the highest power of the prime that is // <= n let power = 1 ; while ( Math . pow ( prime power + 1 ) <= n ) { power ++ ; } lcm *= Math . pow ( prime power ); } return lcm ; } // Example usage: let n = 20 ; console . log ( smallestMultiple ( n ));
Produktion
The smallest number divisible by all numbers from 1 to 20 is 232792560
Tidskompleksitet: O(nlogn)
Hjælpeplads: På)
