SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD)

Singular Value Decomposition (SVD) af en matrix er en faktorisering af denne matrix i tre matricer. Det har nogle interessante algebraiske egenskaber og formidler vigtige geometriske og teoretiske indsigter om lineære transformationer. Det har også nogle vigtige applikationer inden for datavidenskab. I denne artikel vil jeg forsøge at forklare den matematiske intuition bag SVD og dens geometriske betydning.

Matematik bag SVD:

SVD af mxn matrix A er givet ved formlen A = USigma V^T

hvor:

I: mxm matrix af de ortonormale egenvektorer af $AA^{T}$ .
I ^T : omsætte en nxn matrix indeholdende de ortonormale egenvektorer af .
: diagonal matrix med r elementer lig med roden af de positive egenværdier af AAᵀ eller Aᵀ A (begge matricer har alligevel de samme positive egenværdier).

Eksempler

Find SVD for matricen A =
For at beregne SVD'en skal vi først beregne singularværdierne ved at finde egenværdier af AA^{T}.

$A cdot A^{T} =egin{bmatrix} 3& 2 & 2 2& 3& -2 end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} 3 & 2 2 & 3 2 & -2 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 17 & 8 8 & 17 end{bmatrix}$

Den karakteristiske ligning for ovenstående matrix er:

$W - lambda I =0 A A^{T} - lambda I =0$

$lambda^{2} - 34 lambda + 225 =0$

= (lambda-25)(lambda -9)

så vores enestående værdier er: sigma_1 = 5 , ; sigma_2 = 3

Nu finder vi de rigtige singulære vektorer, dvs. ortonormalt sæt af egenvektorer af A ^T A. Egenværdierne af A ^T A er 25, 9 og 0, og da A ^T A er symmetrisk, vi ved at egenvektorerne vil være ortogonale.

Til lambda =25,

$A^{T}A - 25 cdot I = egin{bmatrix} -12 & 12& 2 12 & -12 & -2 2& -2 & -17 end{bmatrix}$

som kan række-reduceres til:

egin{bmatrix} 1& -1& 0 0& 0& 1 0& 0& 0 end{bmatrix}

En enhedsvektor i dens retning er:

$v_1 = egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}} 0 end{bmatrix}$

Tilsvarende er egenvektoren for lambda = 9:

$v_2 =egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{18}} frac{-1}{sqrt{18}} frac{4}{sqrt{18}} end{bmatrix}$

For den 3. egenvektor kunne vi bruge egenskaben, at den er vinkelret på v1 og v2, således at:

$v_1^{T} v_3 =0 v_2^{T} v_3 =0$

Løsning af ovenstående ligning for at generere den tredje egenvektor

$v_3 = egin{bmatrix} a b c end{bmatrix} = egin{bmatrix} a -a -a/2 end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{ 2}{3} frac{-2}{3} frac{-1}{3} end{bmatrix}$

Nu beregner vi U ved at bruge formlen u_i = frac{1}{sigma} A v_i, og dette giver U = $egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} &frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}& frac{-1 }{sqrt{2}} end{bmatrix}$ . Derfor bliver vores endelige SVD-ligning:

$A = egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} &frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}& frac{ -1}{sqrt{2}} end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & 0& 0 0 & 3& 0 end{bmatrix} egin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2 }}& frac{1}{sqrt{2}} &0 frac{1}{sqrt{18}}& frac{-1}{sqrt{18}} & frac{4} {sqrt{18}} frac{2}{3}&frac{-2}{3} &frac{1}{3} end{bmatrix}$

Ansøgninger

Beregning af Pseudo-invers: Pseudo-invers eller Moore-Penrose-invers er generaliseringen af matrix-inverse, som muligvis ikke er inverterbar (såsom lav-rangs matricer). Hvis matrixen er inverterbar, vil dens inverse være lig med Pseudo-invers, men pseudo-invers eksisterer for den matrix, der ikke er inverterbar. Det er betegnet med A ⁺ .

Suppose, we need to calculate the pseudo-inverse of a matrix M: Then, the SVD of M can be given as: Multiply both sides by M^{-1}.Multiply both side by V:Multiply by W^{-1}Since the W is the singular matrix, the inverse of W  is Multiply by

Ovenstående ligning giver pseudo-inverse.

Løsning af et sæt af homogen lineær ligning (Mx =b): hvis b=0, beregn SVD og tag en hvilken som helst kolonne af V ^T forbundet med en enkelt værdi (i I ) lig med 0.

If , Multiply by

Fra Pseudo-inverse ved vi det $M^{-1} = V W^{-1} U^{T}$

Derfor,

$x = V W^{-1} U^{T} b$

Rang, Range og Null space:
- Rangen af matrix M kan beregnes ud fra SVD ved antallet af entalsværdier, der ikke er nul.
- Området for matrix M er de venstre singulære vektorer af U svarende til entalsværdierne, der ikke er nul.
- Nulrummet af matrix M er de rigtige entalsvektorer af V svarende til de nulstillede entalsværdier.

$M = U W V^{T}$

Problem med kurvetilpasning: Enkeltværdidekomponering kan bruges til at minimere den mindste kvadratfejl. Den bruger den pseudo-inverse til at tilnærme den.
Udover ovenstående applikation kan singular værdidekomponering og pseudo-invers også bruges i digital signalbehandling og billedbehandling

Implementering:

I denne kode vil vi forsøge at beregne Singular-værdinedbrydningen ved hjælp af Numpy og Scipy. Vi vil beregne SVD og også udføre pseudo-invers. I sidste ende kan vi anvende SVD til at komprimere billedet

Python3

# Imports> from> skimage.color> import> rgb2gray> from> skimage> import> data> import> matplotlib.pyplot as plt> import> numpy as np> from> scipy.linalg> import> svd> '''> Singular Value Decomposition> '''> # define a matrix> X> => np.array([[> 3> ,> 3> ,> 2> ], [> 2> ,> 3> ,> -> 2> ]])> print> (X)> # perform SVD> U, singular, V_transpose> => svd(X)> # print different components> print> (> 'U: '> , U)> print> (> 'Singular array'> , singular)> print> (> 'V^{T}'> , V_transpose)> '''> Calculate Pseudo inverse> '''> # inverse of singular matrix is just the reciprocal of each element> singular_inv> => 1.0> /> singular> # create m x n matrix of zeroes and put singular values in it> s_inv> => np.zeros(X.shape)> s_inv[> 0> ][> 0> ]> => singular_inv[> 0> ]> s_inv[> 1> ][> 1> ]> => singular_inv[> 1> ]> # calculate pseudoinverse> M> => np.dot(np.dot(V_transpose.T, s_inv.T), U.T)> print> (M)> '''> SVD on image compression> '''> cat> => data.chelsea()> plt.imshow(cat)> # convert to grayscale> gray_cat> => rgb2gray(cat)> # calculate the SVD and plot the image> U, S, V_T> => svd(gray_cat, full_matrices> => False> )> S> => np.diag(S)> fig, ax> => plt.subplots(> 5> ,> 2> , figsize> => (> 8> ,> 20> ))> curr_fig> => 0> for> r> in> [> 5> ,> 10> ,> 70> ,> 100> ,> 200> ]:> > cat_approx> => U[:, :r] @ S[> 0> :r, :r] @ V_T[:r, :]> > ax[curr_fig][> 0> ].imshow(cat_approx, cmap> => 'gray'> )> > ax[curr_fig][> 0> ].set_title(> 'k = '> +> str> (r))> > ax[curr_fig,> 0> ].axis(> 'off'> )> > ax[curr_fig][> 1> ].set_title(> 'Original Image'> )> > ax[curr_fig][> 1> ].imshow(gray_cat, cmap> => 'gray'> )> > ax[curr_fig,> 1> ].axis(> 'off'> )> > curr_fig> +> => 1> plt.show()>

Produktion:

[[ 3 3 2]  [ 2 3 -2]] --------------------------- U: [[-0.7815437 -0.6238505]  [-0.6238505 0.7815437]] --------------------------- Singular array [5.54801894 2.86696457] --------------------------- V^{T} [[-0.64749817 -0.7599438 -0.05684667]  [-0.10759258 0.16501062 -0.9804057 ]  [-0.75443354 0.62869461 0.18860838]] -------------------------- # Inverse  array([[ 0.11462451, 0.04347826],  [ 0.07114625, 0.13043478],  [ 0.22134387, -0.26086957]]) ---------------------------