Resonansfrekvensformel
Resonansfrekvensen er defineret som frekvensen af et kredsløb, når værdierne af kapacitiv impedans og den induktive impedans bliver ens. Det er defineret som den frekvens, hvormed et legeme eller system når sin højeste grad af svingning. Et resonanskredsløb består af en parallelforbundet kondensator og en induktor. Det bruges for det meste til at skabe en given frekvens eller til at overveje en specifik frekvens fra et komplekst kredsløb. Resonansfrekvensen eksisterer kun, når kredsløbet er rent resistivt.
Formel
Formlen for resonansfrekvens er givet ved den reciproke af produktet af to gange pi og kvadratroden af produktet af induktans og kapacitans. Det er repræsenteret ved symbolet f O . Dens standardmåleenhed er hertz eller per sekund (Hz eller s -1 ) og dens dimensionelle formel er givet af [M 0 L 0 T -1 ].
f O = 1/2π√(LC)
hvor,
f O er resonansfrekvensen,
L er induktansen af kredsløbet,
C er kredsløbets kapacitans.
Afledning
Antag, at vi har et kredsløb, hvor en modstand, induktor og kondensator er forbundet i serie under en AC-kilde.
Værdien af modstand, induktans og kapacitans er R, L og C.
Nu er det kendt, at impedansen Z af kredsløbet er givet af,
Z = R + jωL – j/ωC
Z =R + j (ωL – 1/ωC)
For at opfylde betingelsen om resonans skal kredsløbet være rent resistivt. Derfor er den imaginære del af impedansen nul.
ωL – 1/ωC = 0
ωL = 1/ωC
åh 2 = 1/LC
Sætter ω = 1/2πf O , vi får
(1/2πf O ) 2 = 1/LC
f O = 1/2π√(LC)
Dette udleder formlen for resonansfrekvens.
Prøveproblemer
Opgave 1. Beregn resonansfrekvensen for et kredsløb med induktans 5 H og kapacitans 3 F.
Løsning:
Vi har,
L = 5
C = 3
Ved at bruge den formel vi har,
f O = 1/2π√(LC)
= 1/ (2 × 3,14 × √(5 × 3))
= 1/24,32
= 0,041 Hz
Opgave 2. Beregn resonansfrekvensen for et kredsløb med induktans 3 H og kapacitans 1 F.
Løsning:
Vi har,
L = 3
C = 1
Ved at bruge den formel vi har,
f O = 1/2π√(LC)
= 1/ (2 × 3,14 × √(3 × 1))
= 1/10,86
= 0,092 Hz
Opgave 3. Beregn resonansfrekvensen for et kredsløb med induktans 4 H og kapacitans 2,5 F.
Løsning:
Vi har,
L = 4
C = 2,5
Ved at bruge den formel vi har,
f O = 1/2π√(LC)
= 1/ (2 × 3,14 × √(4 × 2,5))
= 1/6,28
= 0,159 Hz
Opgave 4. Beregn induktansen af et kredsløb, hvis kapacitansen er 4 F og resonansfrekvensen er 0,5 Hz.
Løsning:
Vi har,
f O = 0,5
C = 4
Ved at bruge den formel vi har,
f O = 1/2π√(LC)
=> L = 1/4π 2 Jf O 2
= 1/ (4 × 3,14 × 3,14 × 4 × 0,5 × 0,5)
= 1/39,43
= 0,025 H
Opgave 5. Beregn induktansen af et kredsløb, hvis kapacitansen er 3 F og resonansfrekvensen er 0,023 Hz.
Løsning:
Vi har,
f O = 0,023
C = 3
Ved at bruge den formel vi har,
f O = 1/2π√(LC)
=> L = 1/4π 2 Jf O 2
= 1/ (4 × 3,14 × 3,14 × 3 × 0,023 × 0,023)
= 1/0,0199
= 50,25 H
Opgave 6. Beregn kapacitansen af et kredsløb, hvis induktansen er 1 H og resonansfrekvensen er 0,3 Hz.
Løsning:
Vi har,
f O = 0,3
L = 1
Ved at bruge den formel vi har,
f O = 1/2π√(LC)
=> C = 1/4π 2 Lf O 2
= 1/ (4 × 3,14 × 3,14 × 1 × 0,3 × 0,3)
= 1/3,54
= 0,282 F
Opgave 7. Beregn kapacitansen af et kredsløb, hvis induktansen er 0,1 H og resonansfrekvensen er 0,25 Hz.
Løsning:
Vi har,
f O = 0,25
L = 0,1
Ved at bruge den formel vi har,
f O = 1/2π√(LC)
=> C = 1/4π 2 Lf O 2
= 1/ (4 × 3,14 × 3,14 × 0,1 × 0,25 × 0,25)
= 1/0,246
= 4,06 F
