Newton Raphson-metoden eller Newton-metoden er en kraftfuld teknik til at løse ligninger numerisk. Det er mest almindeligt brugt til tilnærmelse af rødderne af de reelle værdier af funktioner. Newton Rapson Method blev udviklet af Isaac Newton og Joseph Raphson, deraf navnet Newton Rapson Method.

Newton Raphson-metoden involverer iterativt at forfine et indledende gæt for at konvergere det mod den ønskede rod. Metoden er dog ikke effektiv til at beregne rødderne af polynomier eller ligninger med højere grader, men i tilfælde af små-graders ligninger giver denne metode meget hurtige resultater. I denne artikel vil vi lære om Newton Raphson-metoden og trinene til at beregne rødderne ved hjælp af denne metode.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er Newton Raphson-metoden?
• Newton Raphson metodeformel
• Newton Raphson metodeberegning
• Konvergens af Newton Raphson-metoden
• Artikler relateret til Newton Raphson Method:
• Newton Raphson-metodeeksempel
• Løste problemer med Newton Raphson-metoden

Hvad er Newton Raphson-metoden?

Newton-Raphson-metoden, som også er kendt som Newtons metode, er en iterativ numerisk metode, der bruges til at finde rødderne til en funktion med reel værdi. Denne formel er opkaldt efter Sir Isaac Newton og Joseph Raphson, da de uafhængigt bidrog til dens udvikling. Newton Raphson-metoden eller Newtons-metoden er en algoritme til at tilnærme rødderne af nuller af de reelle værdier ved hjælp af gæt til den første iteration (x ₀ ) og derefter tilnærme den næste iteration(x ₁ ) som er tæt på rødder ved hjælp af følgende formel.

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

hvor,

• x ₀ er startværdien af ​​x,
• f(x ₀ ) er ligningens værdi ved startværdien, og
• f'(x ₀ ) er værdien af ​​den første ordens afledte af ligningen eller funktionen ved startværdien x _0.

Bemærk: f'(x ₀ ) bør ikke være nul, ellers vil brøkdelen af ​​formlen ændre sig til uendelig, hvilket betyder, at f(x) ikke skal være en konstant funktion.

Newton Raphson metodeformel

I den generelle form er Newton-Raphson-metodens formel skrevet som følger:

x _n = x _n-1 – f(x _n-1 )/f'(x _n-1 )

Hvor,

• x _n-1 er den estimerede (n-1) ^th roden af ​​funktionen,
• f(x _n-1 ) er værdien af ​​ligningen ved (n-1) ^th anslået rod, og
• f'(x _n-1 ) er værdien af ​​den første ordens afledede af ligningen eller funktionen ved x _n-1 .

Newton Raphson metodeberegning

Antag ligningen eller funktionerne, hvis rødder skal beregnes som f(x) = 0.

For at bevise gyldigheden af ​​Newton Raphson-metoden følges følgende trin:

Trin 1: Tegn en graf af f(x) for forskellige værdier af x som vist nedenfor:

Trin 2: En tangent tegnes til f(x) ved x ₀ . Dette er startværdien.

Trin 3: Denne tangent vil skære X-aksen på et eller andet fast punkt (x ₁ ,0) hvis den første afledede af f(x) ikke er nul, dvs. f'(x ₀ ) ≠ 0.

Trin 4: Da denne metode antager iteration af rødder, er denne x ₁ anses for at være den næste tilnærmelse af roden.

Trin 5: Nu gentages trin 2 til 4, indtil vi når den faktiske rod x ^* .

Nu ved vi, at hældningsskæringsligningen for enhver linje er repræsenteret som y = mx + c,

Hvor m er linjens hældning og c er linjens x-skæringspunkt.

Ved at bruge den samme formel får vi

y = f(x ₀ ) + f'(x ₀ ) (x − x ₀ )

Her f(x ₀ ) repræsenterer c og f'(x ₀ ) repræsenterer hældningen af ​​tangenten m. Da denne ligning gælder for hver værdi af x, skal den gælde for x ₁ . Således erstatter x med x ₁ , og sætter ligningen lig med nul, da vi skal beregne rødderne, får vi:

0 = f(x ₀ ) + f'(x ₀ ) (x ₁ − x ₀ )

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

Hvilket er Newton Raphson-metodens formel.

Således blev Newton Raphsons metode matematisk bevist og accepteret at være gyldig.

Konvergens af Newton Raphson-metoden

Newton-Raphson-metoden har en tendens til at konvergere, hvis følgende betingelse er sand:

|f(x).f(x)| <|f'(x)| ²

Det betyder, at metoden konvergerer, når modulet af produktet af værdien af ​​funktionen ved x og den anden afledede af en funktion ved x er mindre end kvadratet af modulo af den første afledede af funktionen ved x. Newton-Raphson-metoden har en konvergens af orden 2, hvilket betyder, at den har en kvadratisk konvergens.

Bemærk:

Newton Raphsons metode er ikke gyldig, hvis den første afledede af funktionen er 0, hvilket betyder f'(x) = 0. Det er kun muligt, når den givne funktion er en konstant funktion.

Artikler relateret til Newton Raphson Method:

• Newtons metode til at finde rødder
• Forskellen mellem Newton Raphson-metoden og Regular Falsi-metoden
• Forskel mellem bisektionsmetode og Newton Raphson-metode
• Root Finding Algoritme

Newton Raphson-metodeeksempel

Lad os overveje følgende eksempel for at lære mere om processen med at finde roden til en funktion med virkelig værdi.

Eksempel: For startværdien x ₀ = 3, tilnærme roden af ​​f(x)=x ³ +3x+1.

Løsning:

Givet, x ₀ = 3 og f(x) = x ³ +3x+1

f'(x) = 3x ² +3

f'(x ₀ ) = 3(9) + 3 = 30

f(x ₀ ) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Brug af Newton Raphson-metoden:

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

= 3 – 37/30

= 1,767

Løste problemer med Newton Raphson-metoden

Opgave 1: For startværdien x ₀ = 1, tilnærme roden af ​​f(x)=x ² -5x+1.

Løsning:

Givet, x ₀ = 1 og f(x) = x ² -5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x ₀ ) = 2 – 5 = -3

f(x ₀ ) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Brug af Newton Raphson-metoden:

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 1 – (-3)/-3

⇒ x ₁ = 1-1

⇒ x ₁ = 0

Opgave 2: For startværdien x ₀ = 2, tilnærme roden af ​​f(x)=x ³ −6x+1.

Løsning:

Givet, x ₀ = 2 og f(x) = x ³ -6x+1

f'(x) = 3x ² – 6

f'(x ₀ ) = 3(4) – 6 = 6

f(x ₀ ) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Brug af Newton Raphson-metoden:

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 2 – (-3)/6

⇒ x ₁ = 2 + 1/2

⇒ x ₁ = 5/2 = 2,5

Opgave 3: For startværdien x ₀ = 3, tilnærme roden af ​​f(x)=x ² −3.

Løsning:

Givet, x ₀ = 3 og f(x) = x ² -3

f'(x) = 2x

f'(x ₀ ) = 6

f(x ₀ ) = f(3) = 9 – 3 = 6

Brug af Newton Raphson-metoden:

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 3 – 6/6

⇒ x ₁ = 2

Opgave 4: Find roden af ​​ligningen f(x) = x ³ – 3 = 0, hvis startværdien er 2.

Løsning:

Givet x ₀ = 2 og f(x) = x ³ - 3

f'(x) = 3x ²

f'(x ₀ = 2) = 3 × 4 = 12

f(x ₀ ) = 8 – 3 = 5

Brug af Newton Raphson-metoden:

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 2 – 5/12

⇒ x ₁ = 1.583

Bruger Newton Raphson-metoden igen:

x ₂ = 1,4544

x ₃ = 1,4424

x ₄ = 1,4422

Derfor er roden af ​​ligningen cirka x = 1,442.

Opgave 5: Find roden af ​​ligningen f(x) = x ³ – 5x + 3 = 0, hvis startværdien er 3.

Løsning:

Givet x ₀ = 3 og f(x) = x ³ – 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x ² - 5

f'(x ₀ = 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x ₀ = 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Brug af Newton Raphson-metoden:

x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 3 – 15/22

⇒ x ₁ = 2,3181

Bruger Newton Raphson-metoden igen:

x ₂ = 1,9705

x ₃ = 1,8504

x ₄ = 1,8345

x ₅ = 1,8342

Derfor er roden af ​​ligningen cirka x = 1,834.

Ofte stillede spørgsmål om Newton Raphson-metoden

Q1: Definer Newton Raphson-metoden.

Svar:

Newton Raphson-metoden er en numerisk metode til at tilnærme rødderne til enhver given funktion med reel værdi. I denne metode brugte vi forskellige iterationer til at tilnærme rødderne, og jo højere antal iterationer, desto mindre fejl i værdien af ​​den beregnede rod.

Q2: Hvad er fordelen ved Newton Raphson-metoden?

Svar:

Newton Raphson-metoden har en fordel, at den giver os mulighed for at gætte rødderne til en ligning med en lille grad meget effektivt og hurtigt.

Q3: Hvad er ulempen ved Newton Raphson-metoden?

Svar:

Ulempen ved Newton Raphson-metoden er, at den har en tendens til at blive meget kompleks, når graden af ​​polynomiet bliver meget stor.

Spørgsmål 4: Angiv enhver anvendelse af Newton Raphsons metode i det virkelige liv.

Svar:

Newton Raphson-metoden bruges til at analysere vandstrømmen i vanddistributionsnetværk i det virkelige liv.

Spørgsmål 5: Hvilken teori er Newton-Raphson-metoden baseret på?

Svar:

Newton Raphsons metode er baseret på teorien om beregning og tangent til en kurve.