Logaritmernes love
Logaritmen er eksponenten eller potensen, som en base hæves til for at få et bestemt tal. For eksempel er 'a' logaritmen af 'm' til bunden af 'x' hvis x m = a, så kan vi skrive det som m = log x en. Logaritmer er opfundet for at fremskynde beregningerne, og tiden vil blive reduceret, når vi multiplicerer mange cifre ved hjælp af logaritmer. Lad os nu diskutere logaritmernes love nedenfor.
Logaritmernes love
Der er tre love for logaritmer, der udledes ved hjælp af de grundlæggende regler for eksponenter. Lovene er produktregelloven, kvotientregelloven, magtregelloven. Lad os se nærmere på lovene.
Første lov for logaritmen eller produktregelloven
Lad a = x n og b = x m hvor grundtallet x skal være større end nul, og x ikke er lig med nul. dvs. x> 0 og x ≠ 0. ud fra dette kan vi skrive dem som
n = log x a og m = log x b ⇢ (1)
Ved at bruge den første lov for eksponenter ved vi, at x n × x m = x n + m ⇢ (2)
Nu gange vi a og b får vi det som,
ab = x n × x m
ab = x n + m (Fra ligning 2)
Anvend nu logaritmen på ovenstående ligning, vi får som nedenfor,
log x ab = n + m
Fra ligning 1 kan vi skrive som log x ab = log x en + log x b
Så hvis vi vil gange to tal og finde produktets logaritme, så læg de individuelle logaritmer af de to tal sammen. Dette er den første lov om logaritmer/produktregelloven.
log x ab = log x en + log x b
Vi kan anvende denne lov for mere end to numre, dvs.
log x abc = log x en + log x b + log x c.
Anden lov for logaritmen eller kvotientregelloven
Lad a = x n og b = x m hvor grundtallet x skal være større end nul, og x ikke er lig med nul. dvs. x> 0 og x ≠ 0. ud fra dette kan vi skrive dem som,
n = log x a og m = log x b ⇢ (1)
Ved at bruge den første lov for eksponenter ved vi, at x n / x m = x n – m ⇢ (2)
Nu gange vi a og b får vi det som,
a/b = x n / x m
a/b = x n – m ⇢ (Fra ligning 2)
Anvend nu logaritmen til ovenstående ligning, vi får som nedenfor,
log x (a/b) = n – m
Fra ligning 1 kan vi skrive som log x (a/b) = log x en – log x b
Så hvis vi vil dividere to tal og finde logaritmen af divisionen, så kan vi trække de individuelle logaritmer af de to tal fra. Dette er den anden lov for logaritmer/kvotientregelloven.
log x (a/b) = log x en – log x b
Tredje lov om logaritme eller magtregellov
Lad a = x n ⇢ (i),
Hvor grundtallet x skal være større end nul, og x ikke er lig med nul. dvs. x> 0 og x ≠ 0. ud fra dette kan vi skrive dem som,
n = log x a ⇢ (1)
Hvis vi hæver begge sider af ligningen(i) med magten 'm', får vi det som følger,
-en m = (x n ) m = x nm
Lad a m være en enkelt størrelse og anvende logaritme på ovenstående ligning,
log x -en m = nm
log x -en m = m.log x -en
Dette er den tredje lov for logaritmer. Den siger, at logaritmen af et potenstal kan opnås ved at gange logaritmen af tallet med dette tal.
Prøveproblemer
Problem 1: Udvid log 21.
Løsning:
Som vi kender den log x ab = log x en + log x b (fra første logaritmelov)
Så log 21 = log (3 × 7)
= log 3 + log 7
Opgave 2: Udvid log (125/64).
Løsning:
Som vi kender den log x( a/b) = log x en – log x b (fra anden logaritmelov)
Så log (125/64) = log 125 – log 64
= log 5 3 – log 4 3
log x -en m = m.log x a (fra den tredje logaritmelov) kan vi skrive det som,
= 3 log 5 – 3 log 4
= 3(log 5 – log 4)
Opgave 3: Skriv 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 som en enkelt logaritme.
Løsning:
3log 2 + 5 log3 – 5log 2
= log 2 3 + log 3 5 – log 2 5
= log 8 + log 243 – log 32
= log(8 × 243) – log 32
= log 1944 – log 32
= log (1944/32)
Opgave 4: Skriv log 16 – log 2 som en enkelt logaritme.
Løsning:
log(16/2)
= log(8)
= log(2 3 )
= 3 log 2
Opgave 5: skriv 3 log 4 som en enkelt logaritme
Løsning:
Fra magtregelloven kan vi skrive det som,
= log 4 3
= log 64
Opgave 6: Skriv 2 log 3- 3 log 2 som en enkelt logaritme
Løsning:
log 3 2 – log 2 3
= log 9 – log 8
= log (9/8)
Opgave 7: Skriv log 243 + log 1 som en enkelt logaritme
Løsning:
log (243 × 1)
= log 243
