Hvordan finder man hældningen på en tangentlinje?
For at finde hældningen af tangentlinjen bør vi have et klart koncept for tangentlinjer og hældning. Hældningen er defineret som forholdet mellem forskellen i y-koordinat og forskellen i x-koordinat. Det er repræsenteret ved følgende formel:
m =(y 2 – og 1 ) /(x 2 – x 1 )
Det skal bemærkes, at:
- tan θ er det samme som m. Hældninger kan være positive eller negative afhængigt af, om linjen bevæger sig op eller ned.
- Produkter af hældningen af to vinkelrette linjer er -1 og hældninger i parallelle linjer er de samme.
- Afledt af en funktion giver en ændring i rate med hensyn til ændring i den uafhængige variabel.
Hældningen af en Tangent Line
Tangentlinjen er den linje, der rører en kurve i et punkt. Der kan være tangentlinjer, der senere krydser kurven eller berører kurven på nogle andre punkter.
Men de grundlæggende kriterier for, at en linje er en tangentlinje i kurven f(x) i et punkt x=a, hvis linjen passerer gennem punktet (a, f(a)) (hvor punktet er fælles både for kurven og tangentlinjen) og tangentlinjen har hældning f'(a), hvor f'(a) er afledt af funktionen f(x) i punkt a.
Hældningen af tangentlinjen er den samme som den afledede af kurven på et tidspunkt. Formlen for en tangentlinje, hvis hældning er m, og det angivne punkt er (x 1 , og 1 ) er givet af,
og – og 1 = m × (x – x 1 )
eller
y= mx + c
Hvor c er en konstant.
Læs mere om Hældningen af en linje .
Hvordan finder man hældningen af en tangentlinje?
Løsning:
Hældningen af en tangentlinje kan findes ved at finde den afledede af kurven f(x og finde værdien af den afledte i det punkt, hvor tangentlinjen og kurven mødes. Dette giver os hældningen
For eksempel: Find hældningen af tangentlinjen til kurven f(x) = x² i punktet(1, 2). Find også ligningen for tangentlinjen.
Lad os finde afledet af f(x):
f'(x) = dy/dx = d(x²) /dx = 2x
Værdien af hældningen ved punkt(1, 2) er,
f'(x) = 2(1) = 2
Tangentliniens ligning er
y – 2 = 2(x – 1)
eller
y = 2x
Læs også,
- Tangenter og Normaler
- Secant Line Formulas hældning
- Hvordan finder man hældning fra en graf?
Lignende problemer
Opgave 1: Find hældningen af tangentlinjen 6y = 3x + 5.
Løsning:
Da vi ved, at ligningen for en tangentlinje har formen y= mx + c hvor m er hældningen
Vi kan skrive,
y= (3x + 5 ) / 6
Derfor er værdien af hældningen 0,5 .
Opgave 2: Find hældningen givet to punkter (6, 7) og (8, 0).
Løsning:
Hældningen af to vilkårlige punkter siger (a, b) og (x, y) er givet ved,
m = (y-b) /(x-a)
Derfor er m = (0-7) /(8-6) = -3,5
Opgave 3: Find hældningen af kurven y= 6x³.
Løsning :
Kurvens hældning er givet ved differentiering af kurven:
dy/dx = d(6x³) /dx = 18x²
Opgave 4: Find hældningen af 2 linjer, der er vinkelrette på hinanden, givet 1 ligning er y= 3x+8
Løsning:
Lad hældningen af to vinkelrette linjer være m og n
mxn = -1
⇒ m = 3
⇒ n = -1/3
Opgave 5: Find hældningen af tangentlinjen til kurven f(x) = x⁴ i punktet(2, 1). Find også ligningen for tangentlinjen.
Løsning:
Lad os finde den afledede af kurven som,
dy/dx = 4x³
Ved punkt (2, 1) er værdien af dy/dx eller hældning m,
m = 32
Ligning for tangentlinje i punkt (2, 1) er,
y – 1 = 32(x – 2)
