Jednotková kružnice je kružnice, jejíž poloměr je 1. Střed jednotkové kružnice je v počátku (0,0) na ose. The obvod Unit Circle je 2π jednotek, zatímco plocha Unit Circle je π jednotek ² . Nese všechny vlastnosti Circle. Unit Circle má rovnici x ² + a ² = 1. Tento jednotkový kruh pomáhá při definování různých trigonometrických pojmů.

Jednotkový kruh

Unit Circle je často označován jako S ¹ zobecnění do vyšších dimenzí je jednotková sféra. Podívejme se podrobněji na příklady Unit Circle, Vzorec a Solved níže.

Co je Unit Circle?

Unit Circle je kruh, který má poloměr jednotky One(1). Pomocí kartézské roviny nakreslíme jednotkovou kružnici a jednotková kružnice je 2-stupňový polynom se dvěma proměnnými. Jednotkový kruh má různé aplikace v trigonometrii a algebře a používá se hlavně k nalezení hodnot různých trigonometrických poměrů, jako je sin x, cos x, tan x a další.

Definice kruhu jednotky

V matematice definujeme jednotkovou kružnici jako místo pevného bodu, který je ve vzdálenosti jedné jednotky od středu kružnice. Jednotková kružnice má poloměr jedné jednotky a odtud název jednotková kružnice.

Rovnice jednotkového kruhu

Víme, že rovnice libovolné kružnice se středem (h, k) a poloměrem „r“ je,

(x – h) ² + (y – k) ² = r ²

Pro jednotkovou kružnici víme, že r je 1 jednotka, takže rovnice jednotkové kružnice je,

(x – h) ² + (y – k) ² = 1

Vzorec jednotkového kruhu

Pokud je střed jednotkové kružnice počátek, tj. (h, k) = (0, 0), pak rovnice jednotkové kružnice je,

X ² + a ² = 1

Jednotková kružnice je znázorněna na obrázku přidaném níže, se středovými souřadnicemi h, k, a když je kružnice na počátku, hodnota ha k je nula a poloměr AP je roven 1 jednotce.

Goniometrické funkce pomocí Unit Circle

K pochopení goniometrických funkcí lze lépe využít aplikaci Pythagorovy věty v jednotkovém kruhu. Za tímto účelem považujeme pravoúhlý trojúhelník za umístěný uvnitř jednotkové kružnice v kartézské rovině souřadnic. Pokud si všimneme, poloměr této kružnice označuje přeponu pravoúhlého trojúhelníku.

Poloměr kružnice tvoří vektor. To vede k vytvoření úhlu, řekněme θ, s kladnou osou x. Předpokládejme, že x je základní délka a y je výška nadmořské výšky pravoúhlého trojúhelníku. Souřadnice koncových bodů vektoru poloměru jsou také (x, y).

Pravoúhlý trojúhelník obsahuje strany 1, x a y. Trigonometrický poměr lze nyní vypočítat takto:

sin θ = Nadmořská výška/Hypotenuse = y/1

cos θ = základ/hypotenza = x/1

Nyní,

• sin θ = y
• cos θ = x
• tan θ = sin θ /cos θ = y/x

Dosazením hodnot θ můžeme získat hlavní hodnoty všech goniometrických funkcí. Obdobně jsou nalezeny hodnoty goniometrických funkcí v různých hodnotách.

Unit Circle s Sin Cos a Tan

Jakýkoli bod na jednotkové kružnici se souřadnicemi (x, y) je reprezentován pomocí goniometrických identit jako, (cosθ, sinθ). Souřadnice rohů poloměru představují kosinus a sinus hodnot θ pro konkrétní hodnotu θ a přímku poloměru. Máme cos θ = x a sin θ = y. V jednom kvadrantu jsou čtyři části kruhu, z nichž každá svírá úhel 90°, 180°, 270° a 360°. Hodnoty poloměru leží mezi -1 až 1. Také hodnoty sin θ a cos θ leží mezi 1 a -1 v tomto pořadí.

Jednotkový kruh a goniometrické identity

Trigonometrické identity jednotkového kruhu pro kotangens, sekans a kosekans lze vypočítat pomocí identit pro sin, cos a tan. Nakonec získáme pravoúhlý trojúhelník se stranami 1, x a y. Výpočet identit jednotkového kruhu lze vyjádřit jako,

• sin θ = y/1
• cos θ = x/1
• tan θ = y/x
• sec 6 = 1/x
• cosec θ = 1/y
• dětská postýlka θ = x/y

Jednotkový kruhový graf

Jednotkový kruhový graf je graf, který obsahuje hodnotu trigonometrické funkce sinus a kosinus pro různé úhly. Jednotkový kruhový graf pro totéž je přidán níže,

Unit Circle Table

Trigonometrické poměry použité v tabulce jednotkové kružnice se používají k výpisu souřadnic bodů na jednotkové kružnici, které odpovídají společným úhlům.

Jednotkový kruh Pythagorejské identity

Existují tři pythagorejské identity a všechny lze snadno dokázat pomocí konceptu jednotkového kruhu, což jsou tři pythagorejské identity,

• bez ² θ + cos ² θ = 1
• 1 + tak ² θ = sek ² i
• 1 + dětská postýlka ² θ = kosec ² i

Jednotka Kruhová Komplexní Rovina

Komplexní čísla a Komplexní rovina lze snadno vysvětlit pomocí konceptu jednotkové kružnice. Rovnice jednotkového kruhu v komplexním tvaru je,

|z| = 1

NEBO

X ² + a ² = 1

V Eulerově formě je komplexní číslo reprezentováno jako,

z = e ^to = náklady t + i (sin t)

Přečtěte si více

• Trigonometrický stůl
• Trigonometrické identity
• Inverzní goniometrické identity

Řešené příklady na Unit Circle

Q1: Dokažte, že bod Q leží na jednotkové kružnici, Q = [1/√(6), √4/√6]

Řešení:

vzhledem k tomu,

• Q = [1/√(6), √4/√6]

x = 1/√(6), y = √4/√6

Rovnice jednotkového kruhu je,

X ² + a ² = 1

LHS = (1/√(6)) ² + (√4/√6) ²

LHS = 1/6 + 4/6 = 5/6 ≠ 1

LHS ≠ RHS

Bod Q[1/√(6), √4/√6] tedy neleží na jednotkové kružnici.

Q2: Vypočítejte tak 30 ^Ó pomocí hodnot sin a cos jednotkového kruhu.

Řešení:

opálení 30° s použitím hodnot sin a cos,

opálení 30° = (sin 30°)/ (cos 30°)

• bez 30° = 1/2
• cos 30° = √(3)/2

opálení 30° = 1/2/√(3)/2

opálení 30° = 1/√(3)

Q3: Ověřte, zda bod P [1/2, √(3)/2] leží na jednotkové kružnici.

Řešení:

vzhledem k tomu,

P = [1/2, √(3)/2]

• x = 1/2
• y = √(3)/2

Rovnice jednotkového kruhu je,

• X ² + a ² = 1

LHS

= (1/2) ² + (√(3)/2) ²

= 1/4 + 3/4

= (1 + 3)/4 = 4/4

= 1

= RHS

Procvičte si otázky na Unit Circle

Q1. Zkontrolujte, zda body A (1/2, 3/2) leží na jednotkové kružnici.

Q2. Zkontrolujte, zda body A (2, 1/2) leží na jednotkové kružnici.

Q3. Najděte hodnotu cos 240°

Q4. Najděte hodnotu tan 320°

Q5. Najděte hodnotu hříchu 160°

Unit Circle – FAQ

Co je Unit Circle?

Jednotková kružnice je definována jako umístění bodu jednu jednotku od pevného bodu. Má střed v (0,0) a hodnota jeho poloměru je 1.

Jak zkontrolovat, zda bod leží na jednotkovém kruhu?

Libovolný bod ležící ve 2D rovině, který má tvar (x, y), se vloží do jednotkové kružnice x ² + a ² = 1 pro ověření, zda leží na kružnici nebo ne.

Jaký je vzorec Unit Circle?

Vzorec jednotkového kruhu je vzorec, který se používá k algebraickému znázornění jednotkového kruhu. Vzorec jednotkového kruhu je dán jako,

X ² + a ² = 1

Proč se tomu říká Unit Circle?

Jednotková kružnice se nazývá jednotková kružnice, protože má poloměr jedné (1) jednotek.