Goniometrická substituce je jednou ze substitučních metod integrace, kdy je funkce nebo výraz v daném integrálu nahrazen goniometrickými funkcemi jako sin, cos, tan atd. Integrace substitucí je nejjednodušší substituční metoda.

Používá se, když provádíme substituci funkce, jejíž derivace je již zahrnuta v dané integrální funkci. Tím se funkce zjednoduší a získá se jednoduchá integrální funkce, kterou můžeme snadno integrovat. Je také známé jako u-substituce nebo pravidlo obráceného řetězce. Nebo jinými slovy, pomocí této metody můžeme snadno vyhodnotit integrály a primitivní funkce.

Trigonometrické substituce

Co je to goniometrická substituce?

Goniometrická substituce je proces, při kterém probíhá substituce goniometrické funkce do jiného výrazu. Používá se k výpočtu integrálů nebo je to metoda pro hledání primitivních funkcí funkcí, které obsahují odmocniny kvadratických výrazů nebo racionální mocniny tvaru frac{p}{2} (kde p je celé číslo) kvadratických výrazů. Příklady takových výrazů jsou

({x^2+4})^frac{3}{2} nebo sqrt{25-x^2} nebo atd.

Metoda trigonometrické substituce může být použita, když jiné běžnější a snáze použitelné metody integrace selhaly. Trigonometrické substituce předpokládá, že jste obeznámeni se standardními goniometrickými identitami, používáním diferenciální notace, integrací pomocí u-substituce a integrací goniometrických funkcí.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Zde probereme některé důležité vzorce v závislosti na funkci, kterou potřebujeme integrovat, pro zjednodušení integrace dosadíme jeden z následujících goniometrických výrazů:

∫cosx dx = sinx + C

∫sinx dx = −cosx + C

∫s ² x dx = tanx + C

∫cosec ² x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Přečtěte si podrobně: Počet v matematice

Kdy použít trigonometrickou substituci?

Trigonometrickou substituci používáme v následujících případech:

Jak použít metodu trigonometrické substituce?

Můžeme použít goniometrickou substituční metodu, jak je diskutováno níže,

Integrální s a ² - X ²

Podívejme se na příklad integrálu zahrnujícího a ² - X ² .

Příklad: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Řekněme, že x = sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Tedy já = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I = int 1. d heta

⇒ I = θ + c

As, x = sinθ

⇒ θ = sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I = sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrální s x ² + a ²

Uvažujme příklad integrálu zahrnujícího x ² + a ² .

Příklad: Najděte integrál old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Řešení:

Dejme x = tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, dostáváme

Tedy já = int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I = frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I = frac{1}{a} heta + c

As, x = tanθ

⇒ θ = tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I = frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrální s a ² + x ² .

Podívejme se na příklad integrálu zahrnujícího a ² + x ² .

Příklad: Najděte integrál of old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Řešení:

Řekněme, x = tanθ

⇒ dx = sec ² θ dθ

Tedy já = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I = int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I = log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I = log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I = log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integrální s x ² – a ² .

Uvažujme příklad integrálu zahrnujícího x ² – a ² .

Příklad: Najděte integrál of old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Řekněme, že x = sekundaθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Tedy já = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I = int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I = int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I = log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ I = log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ I = log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Přečtěte si více,

• Integrační vzorce
• Integrace substitucí
• Integrace po částech

Vzorové úlohy na goniometrické substituci

Úloha 1: Najděte integrál old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Řešení:

Vezmeme-li 5 společných ve jmenovateli,

⇒ I = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I = frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Podle věty 1 platí a = frac{3}{5}

⇒ I = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ I = frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Úloha 2: Najděte integrál old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Řešení:

Vezmeme-li √2 společný ve jmenovateli,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Podle věty 1 je a = 2

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Úloha 3: Najděte integrál old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Řešení:

Přeskupením získáme

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Zde platí, a = 3 a x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Nahrazení těchto hodnot,

Já = int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Pojďme vzít,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Dosazením těchto hodnot dostaneme

⇒ I = 243 inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243 inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243 inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243 [frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ a x = 3 sinθ

⇒ cos θ = sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ v = sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ v = (1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Tedy, I = -243 [frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Úloha 4: Najděte integrál old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Řešení:

Vezmeme-li 9 společných ve jmenovateli,

Já = frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I = frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Podle věty 2 platí a = frac{2}{3}

⇒ I = frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I = frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Úloha 5: Najděte integrál old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Řešení:

Vezmeme-li 4 společné ve jmenovateli,

Já = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I = frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Podle věty 3 platí a = frac{5}{4}

⇒ I = frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I = frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ I = frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Úloha 6: Najděte integrál old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Řešení:

Vezmeme-li 2 společné ve jmenovateli,

Já = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

Já = frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Podle věty 4 platí a = frac{3}{2}

Já = frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

Já = frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

Já = frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

Já = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

Já = frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Úloha 7: Najděte integrál old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Řešení:

Po přeuspořádání dostaneme

Já = int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

Já = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

Já = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

Já = int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Podle věty 2 máme

x = x- frac{1}{2} a = frac{sqrt{3}}{2}

Já = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

Já = frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrická substituce – FAQ

Co je to goniometrická substituce?

Trigonometrická substituce je technika integrace používaná k řešení integrálů zahrnujících výrazy s radikály a odmocniny, jako je √(x ² + a ² ), √ (a ² + x ² ) a √(x ² – a ² ).

Kdy bych měl použít trigonometrickou substituci?

Trigonometrická substituce je užitečná, když máte integrál, který zahrnuje radikální výraz, zvláště když radikální výraz obsahuje kvadratický výraz.

Jaké jsou tři trigonometrické substituce běžně používané v integrálech?

Tři běžně používané trigonometrické substituce jsou:

• Dosaďte x = a sin θ, když radikálový výraz obsahuje člen ve tvaru a ² - X ² .
• Dosaďte x = tan θ, když radikálový výraz obsahuje člen ve tvaru x ² – a ² .
• Dosaďte x = a sec θ, když radikálový výraz obsahuje člen ve tvaru x ² + a ² .

Jak si někdo vybere, kterou trigonometrickou substituci použít?

Trigonometrickou substituci byste měli zvolit na základě formy radikálního výrazu. Pokud radikální výraz obsahuje člen ve tvaru a^2 – x^2, použijte x = a sin θ. Pokud radikálový výraz obsahuje člen ve tvaru x^2 – a^2, použijte x = a tan θ. Pokud radikálový výraz obsahuje člen ve tvaru x^2 + a^2, použijte x = a sec θ.