V matematice je sčítání základním sčítáním posloupnosti libovolných čísel, nazývaných sčítance nebo sčítance; výsledkem je jejich součet nebo součet. V matematice mohou být čísla, funkce, vektory, matice, polynomy a obecně prvky jakéhokoli matematického objektu spojeny s operací zvanou sčítání/součet, označované jako +.

Sumace explicitní sekvence se označuje jako posloupnost sčítání. Například součet (1, 3, 4, 7) může základ označovat 1 + 3 + 4 + 7 a výsledek pro výše uvedený zápis je 15, tedy 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Protože operace sčítání je asociativní i komutativní, při vypisování řady/sekvence nejsou potřeba závorky a výsledek bude stejný bez ohledu na pořadí sčítání.

Obsah

• Co je Sumační vzorec?
• Kde použít sumační vzorec?
• Vlastnosti sumace
• Standardní součtové vzorce
• Příklad na sumačním vzorci
• Nejčastější dotazy k sumačnímu vzorci

Co je Sumační vzorec?

Sumační nebo sigma (∑) zápis je metoda používaná k vypsání dlouhého součtu stručným způsobem. Tento zápis lze připojit k libovolnému vzorci nebo funkci.

Například, _i=1 ∑ ¹⁰ (i) je sigma zápis sčítání konečné posloupnosti 1 + 2 + 3 + 4…… + 10, kde první prvek je 1 a poslední prvek je 10.

Sumační vzorce

Kde použít sumační vzorec?

Sumační notaci lze použít v různých oblastech matematiky:

• Sekvence v sérii
• Integrace
• Pravděpodobnost
• Permutace a kombinace
• Statistika

Poznámka: Suma je krátká forma opakovaného sčítání. Sčítání můžeme také nahradit smyčkou sčítání.

Vlastnosti sumace

Nemovitost 1

_i=1 ∑ ⁿ c = c + c + c + …. + c (n) krát = nc

Například: Najděte hodnotu _i=1 ∑ ⁴ C.

Pomocí vlastnosti 1 můžeme přímo vypočítat hodnotu _i=1 ∑ ⁴ c jako 4×c = 4c.

Nemovitost 2

_c=1 ∑ ⁿ kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) krát = k × (1 + … + n) = k _c=1 ∑ ⁿ C

Například: Najděte hodnotu _i=1 ∑ ⁴ 5i.

Pomocí vlastnosti 2 a 1 můžeme přímo vypočítat hodnotu _{i= 1} ∑ ⁴ 5i jako 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 × (1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Nemovitost 3

_c=1 ∑ ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) krát = (n × k) + (1 + … + n) = nk + _c=1 ∑ ⁿ C

Například: Najděte hodnotu _i=1 ∑ ⁴ (5+i).

Pomocí vlastnosti 2 a 3 můžeme přímo vypočítat hodnotu _i=1 ∑ ⁴ (5+i) jako 5x4+ _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Nemovitost 4

_k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

Například: Najít hodnotu _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ).

Pomocí vlastnosti 4 můžeme přímo vypočítat hodnotu _i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) tak jako _i=1 ∑ ⁴ já + _i=1 ∑ ⁴ i ² = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standardní součtové vzorce

Různé sumační vzorce jsou,

Součet prvních n přirozených čísel: (1+2+3+…+n) = _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n x(n +1)]/2

Součet čtverců prvních n přirozených čísel: (1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (i ² ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Součet krychle prvních n přirozených čísel: (1 ³ +2 ³ +3 ³ +…+n ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (i ³ ) = [n ² ×(n +1) ² )]/4

Součet prvních n sudých přirozených čísel : (2+4+…+2n) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) = [n × (n +1)]

Součet prvních n lichých přirozených čísel : (1+3+…+2n-1) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) = n ²

Součet čtverců prvních n sudých přirozených čísel: (2 ² +4 ² +…+ (2n) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ² = [2n(n + 1) (2n + 1)] / 3

Součet čtverců prvních n lichých přirozených čísel: (1 ² +3 ² +…+ (2n-1) ² ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Součet krychle prvních n sudých přirozených čísel: (2 ³ +4 ³ +…+(2n)3) = _i=1 ∑ ⁿ (2i) ³ = 2[n(n+1)] ²

Součet krychle prvních n lichých přirozených čísel: (1 ³ +3 ³ +…+ (2n-1) ³ ) = _i=1 ∑ ⁿ (2i-1) ³ = n ² (2n ² - 1)

Související články:

• Součet přirozených čísel
• Součet v matematice
• Aritmetické operace
• Aritmetická a geometrická progrese

Příklad na sumačním vzorci

Příklad 1: Najděte součet prvních 10 přirozených čísel pomocí součtového vzorce.

Řešení:

Použití součtového vzorce pro součet n přirozených čísel _i=1 ∑ ⁿ (i) = [n x(n +1)]/2

Máme součet prvních 10 přirozených čísel = _i=1 ∑ ¹⁰ (i) = [10 x (10 + 1)]/2 = 55

Příklad 2: Najděte součet 10 prvních přirozených čísel větších než 5 pomocí součtového vzorce.

Řešení:

Podle otázky:

Součet 10 prvních přirozených čísel větších než 5 = _i=6 ∑ ^patnáct (i)

= _i=1 ∑ ^patnáct (i) – _i=1 ∑ ⁵ (i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120–15

= 105

Příklad 3: Najděte součet dané konečné posloupnosti 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Řešení:

Daná sekvence je 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² , lze to napsat jako _i=1 ∑ ⁸ i ² pomocí vlastnosti/vzorce součtu

_i=1 ∑ ⁸ i ² = [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Příklad 4: Zjednodušte _c=1 ∑ ⁿ kc.

Řešení:

Daný součtový vzorec = _c=1 ∑ ⁿ kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termínů)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1 ∑ ⁿ kc = k _c=1 ∑ ⁿ C

Příklad 5: Zjednodušte a vyhodnoťte x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Řešení:

Daný součet je _x=1 ∑ ⁿ (4+x)

Jak to známe _c=1 ∑ ⁿ (k+c) = nk+ _c=1 ∑ ⁿ C

Daný souhrn lze zjednodušit jako,

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (X)

Příklad 6: Zjednodušte _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Řešení:

Daný součet je _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

jak to známe _k=1 ∑ ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1 ∑ ⁿ f(k) + _k=1 ∑ ⁿ g(k)

danou sumaci lze zjednodušit jako _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (X ² ).

Nejčastější dotazy k sumačnímu vzorci

Co je sumační vzorec přirozených čísel?

Součet přirozených čísel od 1 do n se zjistí pomocí vzorce n (n + 1) / 2. Například součet prvních 100 přirozených čísel je 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Co je obecný sumační vzorec?

Obecný součtový vzorec používaný k nalezení součtu posloupnosti {a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…,A _n } je, ∑a _i = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Jak používáte ∑?

∑ je symbol součtu a používá se k nalezení součtu řad.

Jaký je vzorec pro n součet?

Vzorec pro součet n přirozených čísel je, Součet n čísel vzorec je [n(n+1)2]