Formulář řady Echelon
Matice je ve formě řady řádků, pokud má následující vlastnosti:
- Jakýkoli řádek sestávající výhradně z nul se nachází ve spodní části matice.
- Pro každý řádek, který neobsahuje celé nuly, je první nenulová položka 1 (nazývaná úvodní 1).
- U dvou po sobě jdoucích (nenulových) řad je přední 1 ve vyšší řadě dále vlevo než úvodní v dolní řadě.
U redukovaného tvaru řádku obsahuje úvodní 1 každého řádku 0 pod a nad ním v daném sloupci.
Níže je uveden příklad tvaru řady-echalon:
a zmenšený tvar řady-echalon:
Jakákoli matice může být transformována do redukovaného tvaru řady pomocí techniky zvané Gaussova eliminace. To je zvláště užitečné pro řešení soustav lineárních rovnic.
Gaussova eliminace
Gaussova eliminace je způsob převodu matice do redukovaného tvaru řady. Může být také použit jako způsob hledání řešení k řešení soustavy lineárních rovnic. Myšlenka za tím je, že na řádku provedeme nějaké matematické operace a pokračujeme, dokud nezbude pouze jedna proměnná.
Níže jsou uvedeny některé operace, které můžeme provést:
- Vyměňte libovolné dva řádky
- Přidejte dva řádky dohromady.
- Vynásobte jeden řádek nenulovou konstantou (tj. 1/3, -1/5, 2).
Vzhledem k následující lineární rovnici:
a rozšířená matice výše
Nyní to musíme převést do tvaru řádek-echalon. Abychom to převedli do tvaru řady-echelon, musíme provést Gaussovu eliminaci.
- Nejprve musíme odečíst 2*r 1 z r 2 a 4*r 1 z r 3 dostat 0 na prvním místě r 2 a r 3 .
- Dále vyměníme řádky r2 a r3 a poté odečteme 5*r 2 od r 3 získat druhou 0 ve třetí řadě.
- Nyní můžeme odvodit hodnotu S od r 3, tj. 10 z =0 ⇾ z=0. Pomocí hodnoty z =0 ji můžeme dosadit na r2, y = 2. Podobně můžeme hodnotu y a z dosadit do r 1 a dostaneme hodnotu x=3
Hodnost matice
Pořadí matice je počet nenulových řádků v řádkovém tvaru. Abychom našli hodnost, musíme provést následující kroky:
- Najděte řádkový-chalonový tvar dané matice
- Spočítejte počet nenulových řádků.
Vezměme si příklad matice:
Nyní zredukujeme výše uvedenou matici do tvaru řádek-echalon
Zde pouze dva řádky obsahují nenulové prvky. Hodnost matice je tedy 2.
Implementace
- Abychom převedli matici do redukované řádkové podoby, použili jsme balíček Sympy v pythonu, nejprve jej musíme nainstalovat.
python3
# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[> 4> ,> 0> ,> 1> ],[> 2> ,> 0> ,> 2> ],[> 3> ,> 0> ,> 3> ]]).rref()> # find the rank of matrix> print> ('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[> 4> ,> 0> ,> 1> ],[> 2> ,> 0> ,> 2> ],[> 3> ,> 0> ,> 3> ]]).rank())> |
Výstup:
(Matrix([ [1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 0]]), (0, 2)) Rank of matrix : 2
