Newton Raphsonova metoda nebo Newtonova metoda je výkonná technika pro numerické řešení rovnic. Nejčastěji se používá pro aproximaci kořenů funkcí s reálnou hodnotou. Metodu Newton Rapson vyvinuli Isaac Newton a Joseph Raphson, odtud název Newton Rapson Method.

Metoda Newton Raphson zahrnuje opakované zpřesňování počátečního odhadu, aby se sblížil k požadovanému kořenu. Tato metoda však není účinná pro výpočet kořenů polynomů nebo rovnic s vyššími stupni, ale v případě rovnic malého stupně tato metoda poskytuje velmi rychlé výsledky. V tomto článku se seznámíme s Newton Raphson Method a kroky k výpočtu kořenů pomocí této metody.

Obsah

• Co je Newton Raphsonova metoda?
• Vzorec metody Newton Raphson
• Výpočet metodou Newton Raphson
• Konvergence Newton Raphsonovy metody
• Články související s Newton Raphson Method:
• Příklad metody Newton Raphson
• Vyřešené problémy Newton Raphsonovy metody

Co je Newton Raphsonova metoda?

Newton-Raphsonova metoda, známá také jako Newtonova metoda, je iterativní numerická metoda používaná k nalezení kořenů funkce s reálnou hodnotou. Tento vzorec je pojmenován po Siru Isaacu Newtonovi a Josephu Raphsonovi, protože se nezávisle na jeho vývoji podíleli. Newton Raphsonova metoda nebo Newtonova metoda je algoritmus pro aproximaci kořenů nul reálně hodnotných funkcí pomocí odhadu pro první iteraci (x ₀ ) a poté aproximací další iterace (x ₁ ), který je blízko odmocnin, pomocí následujícího vzorce.

X ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

kde,

• X ₀ je počáteční hodnota x,
• f(x ₀ ) je hodnota rovnice na počáteční hodnotě a
• f'(x ₀ ) je hodnota derivace prvního řádu rovnice nebo funkce na počáteční hodnotě x _0.

Poznámka: f'(x ₀ ) by neměla být nula, jinak se zlomková část vzorce změní na nekonečno, což znamená, že f(x) by neměla být konstantní funkce.

Vzorec metody Newton Raphson

V obecné podobě je vzorec Newton-Raphsonovy metody zapsán takto:

X _n = x _n-1 – f(x _n-1 )/f'(x _n-1 )

Kde,

• X _n-1 je odhadovaný (n-1) ^čt kořen funkce,
• f(x _n-1 ) je hodnota rovnice v (n-1) ^čt odhadovaný kořen a
• f'(x _n-1 ) je hodnota derivace prvního řádu rovnice nebo funkce v x _n-1 .

Výpočet metodou Newton Raphson

Předpokládejme rovnici nebo funkce, jejichž kořeny mají být vypočteny jako f(x) = 0.

Za účelem prokázání platnosti Newton Raphsonovy metody jsou dodržovány následující kroky:

Krok 1: Nakreslete graf f(x) pro různé hodnoty x, jak je znázorněno níže:

Krok 2: K f(x) v x je nakreslena tečna ₀ . Toto je počáteční hodnota.

Krok 3: Tato tečna bude protínat osu X v nějakém pevném bodě (x ₁ ,0), pokud první derivace f(x) není nula, tj. f'(x ₀ ) ≠ 0.

Krok 4: Protože tato metoda předpokládá iteraci kořenů, toto x ₁ se považuje za další aproximaci kořene.

Krok 5: Nyní se opakují kroky 2 až 4, dokud nedosáhneme skutečného kořene x ^* .

Nyní víme, že rovnice průsečíku sklonu libovolné přímky je reprezentována jako y = mx + c,

Kde m je sklon přímky a C je průsečík x přímky.

Pomocí stejného vzorce dostaneme

y = f(x ₀ ) + f'(x ₀ ) (x − x ₀ )

Zde f(x ₀ ) představuje c a f'(x ₀ ) představuje sklon tečny m. Protože tato rovnice platí pro každou hodnotu x, musí platit i pro x ₁ . Tedy nahrazením x x ₁ a když rovnici přirovnáme k nule, protože potřebujeme vypočítat kořeny, dostaneme:

0 = f(x ₀ ) + f'(x ₀ ) (X ₁ − x ₀ )

X ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

Což je vzorec Newton Raphsonovy metody.

Metoda Newtona Raphsona byla tedy matematicky prokázána a přijata jako platná.

Konvergence Newton Raphsonovy metody

Newton-Raphsonova metoda má tendenci konvergovat, pokud platí následující podmínka:

|f(x).f(x)| <|f'(x)| ²

To znamená, že metoda konverguje, když modul součinu hodnoty funkce v x a druhé derivace funkce v x je menší než druhá mocnina modulo první derivace funkce v x. Newton-Raphsonova metoda má konvergenci řádu 2, což znamená, že má kvadratickou konvergenci.

Poznámka:

Newton Raphsonova metoda není platná, pokud je první derivace funkce 0, což znamená f'(x) = 0. Je to možné pouze tehdy, když je daná funkce konstantní funkcí.

Články související s Newton Raphson Method:

• Newtonova metoda hledání kořenů
• Rozdíl mezi Newton Raphsonovou metodou a běžnou Falsi metodou
• Rozdíl mezi metodou půlení a metodou Newton Raphson
• Algoritmus hledání kořene

Příklad metody Newton Raphson

Podívejme se na následující příklad, abychom se dozvěděli více o procesu hledání kořene funkce s reálnou hodnotou.

Příklad: Pro počáteční hodnotu x ₀ = 3, aproximujte kořen z f(x)=x ³ +3x+1.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x ₀ = 3 a f(x) = x ³ +3x+1

f'(x) = 3x ² +3

f'(x ₀ ) = 3(9) + 3 = 30

f(x ₀ ) = f(3) = 27 + 3 (3) + 1 = 37

Použití Newton Raphsonovy metody:

X ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

= 3 – 37/30

= 1,767

Vyřešené problémy Newton Raphsonovy metody

Úloha 1: Pro počáteční hodnotu x ₀ = 1, aproximujte kořen z f(x)=x ² −5x+1.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x ₀ = 1 a f(x) = x ² -5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x ₀ ) = 2 – 5 = -3

f(x ₀ ) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Použití Newton Raphsonovy metody:

X ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 1 – (-3)/-3

⇒ x ₁ = 1-1

⇒ x ₁ = 0

Úloha 2: Pro počáteční hodnotu x ₀ = 2, aproximujte kořen z f(x)=x ³ −6x+1.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x ₀ = 2 a f(x) = x ³ -6x+1

f'(x) = 3x ² – 6

f'(x ₀ ) = 3(4) – 6 = 6

f(x ₀ ) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Použití Newton Raphsonovy metody:

X ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 2 – (-3)/6

⇒ x ₁ = 2 + 1/2

⇒ x ₁ = 5/2 = 2,5

Úloha 3: Pro počáteční hodnotu x ₀ = 3, aproximujte kořen z f(x)=x ² −3.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x ₀ = 3 a f(x) = x ² -3

f'(x) = 2x

f'(x ₀ ) = 6

f(x ₀ ) = f(3) = 9 – 3 = 6

Použití Newton Raphsonovy metody:

X ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 3 – 6/6

⇒ x ₁ = 2

Úloha 4: Najděte kořen rovnice f(x) = x ³ – 3 = 0, pokud je počáteční hodnota 2.

Řešení:

Dané x ₀ = 2 a f(x) = x ³ - 3

f'(x) = 3x ²

f'(x ₀ = 2) = 3 × 4 = 12

f(x ₀ ) = 8 – 3 = 5

Použití Newton Raphsonovy metody:

X ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 2 – 5/12

⇒ x ₁ = 1,583

Opět použijte metodu Newton Raphson:

X ₂ = 1,4544

X ₃ = 1,4424

X ₄ = 1,4422

Kořen rovnice je tedy přibližně x = 1,442.

Úloha 5: Najděte kořen rovnice f(x) = x ³ – 5x + 3 = 0, pokud je počáteční hodnota 3.

Řešení:

Dané x ₀ = 3 a f(x) = x ³ – 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x ² - 5

f'(x ₀ = 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x ₀ = 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Použití Newton Raphsonovy metody:

X ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

⇒ x ₁ = 3 – 15/22

⇒ x ₁ = 2,3181

Opět použijte metodu Newton Raphson:

X ₂ = 1,9705

X ₃ = 1,8504

X ₄ = 1,8345

X ₅ = 1,8342

Kořen rovnice je tedy přibližně x = 1,834.

Nejčastější dotazy k metodě Newton Raphson

Q1: Definujte metodu Newton Raphson.

Odpovědět:

Newton Raphsonova metoda je numerická metoda pro aproximaci kořenů jakékoli dané funkce s reálnou hodnotou. V této metodě jsme použili různé iterace k aproximaci kořenů a čím vyšší počet iterací, tím menší chyba v hodnotě vypočítaného kořene.

Q2: Jaká je výhoda Newton Raphsonovy metody?

Odpovědět:

Newton Raphsonova metoda má tu výhodu, že nám umožňuje velmi efektivně a rychle odhadnout kořeny rovnice s malým stupněm.

Q3: Jaká je nevýhoda Newton Raphsonovy metody?

Odpovědět:

Nevýhodou Newton Raphsonovy metody je, že má tendenci být velmi složitá, když je stupeň polynomu velmi velký.

Q4: Uveďte jakoukoli reálnou aplikaci Newton Raphsonovy metody.

Odpovědět:

Metoda Newton Raphson se používá k analýze proudění vody ve vodovodních sítích v reálném životě.

Q5: Na jaké teorii je založena Newton-Raphsonova metoda?

Odpovědět:

Newton Raphsonova metoda je založena na teorii počtu a tečny ke křivce.