Logaritmické zákony
Logaritmus je exponent nebo mocnina, na kterou je základ zvýšen, aby se získalo konkrétní číslo. Například „a“ je logaritmus „m“ k základu „x“, pokud x m = a, pak to můžeme zapsat jako m = log X A. Logaritmy jsou vynalezeny pro urychlení výpočtů a čas se zkrátí, když násobíme mnoho číslic pomocí logaritmů. Nyní pojďme diskutovat o zákonech logaritmů níže.
Logaritmické zákony
Existují tři zákony logaritmu, které jsou odvozeny pomocí základních pravidel exponentů. Zákony jsou zákon o vládě produktu, zákon o podílu, zákon o vládě moci. Pojďme se na zákony podívat podrobněji.
První zákon logaritmu nebo zákon produktového pravidla
Nechť a = x n a b = x m kde základ x by měl být větší než nula a x se nerovná nule. tj. x> 0 a x ≠ 0. z toho je můžeme zapsat jako
n = log X a a m = log X b ⇢ (1)
Pomocí prvního zákona exponentů víme, že x n × x m = x n + m ⇢ (2)
Nyní vynásobíme a a b dostaneme jako,
ab = x n × x m
ab = x n + m (z rovnice 2)
Nyní použijte logaritmus na výše uvedenou rovnici, kterou dostaneme, jak je uvedeno níže,
log X ab = n + m
Z rovnice 1 můžeme psát jako log X ab = log X a + log X b
Pokud tedy chceme vynásobit dvě čísla a najít logaritmus součinu, sečtěte jednotlivé logaritmy těchto dvou čísel. Toto je první zákon logaritmů / zákon produktového pravidla.
log X ab = log X a + log X b
Tento zákon můžeme použít pro více než dvě čísla, tj.
log X abc = log X a + log X b + log X C.
Druhý zákon logaritmu nebo zákon kvocientového pravidla
Nechť a = x n a b = x m kde základ x by měl být větší než nula a x se nerovná nule. tj. x> 0 a x ≠ 0. z toho je můžeme napsat jako,
n = log X a a m = log X b ⇢ (1)
Pomocí prvního zákona exponentů víme, že x n / X m = x n – m ⇢ (2)
Nyní vynásobíme a a b dostaneme jako,
a/b = x n / X m
a/b = x n – m ⇢ (z rovnice 2)
Nyní použijte logaritmus na výše uvedenou rovnici, kterou dostaneme, jak je uvedeno níže,
log X (a/b) = n – m
Z rovnice 1 můžeme psát jako log X (a/b) = log X kláda X b
Pokud tedy chceme vydělit dvě čísla a najít logaritmus dělení, pak můžeme jednotlivé logaritmy těchto dvou čísel odečíst. Toto je druhý zákon logaritmů / kvocientové pravidlo.
log X (a/b) = log X kláda X b
Třetí zákon logaritmu nebo zákon mocninného pravidla
Nechť a = x n ⇢ (i),
Kde základ x by měl být větší než nula a x se nerovná nule. tj. x> 0 a x ≠ 0. z toho je můžeme napsat jako,
n = log X a ⇢ (1)
Zvedneme-li obě strany rovnice (i) mocninou ‚m‘, dostaneme to následovně,
A m = (x n ) m = x nm
Nechte m být jedinou veličinou a použít logaritmus na výše uvedenou rovnici,
log X A m = nm
log X A m = m.log X A
Toto je třetí zákon logaritmů. Uvádí, že logaritmus mocninného čísla lze získat vynásobením logaritmu čísla tímto číslem.
Ukázkové problémy
Problém 1: Rozbalte protokol 21.
Řešení:
Jak známe ten log X ab = log X a + log X b (z prvního zákona logaritmu)
Takže log 21 = log (3 × 7)
= log 3 + log 7
Problém 2: Rozbalte protokol (125/64).
Řešení:
Jak známe ten log X( a/b) = log X kláda X b (z druhého zákona logaritmu)
Takže log (125/64) = log 125 – log 64
= log 5 3 - log 4 3
log X A m = m.log X a (z třetího logaritmického zákona), můžeme to napsat jako,
= 3 log 5 – 3 log 4
= 3 (log 5 – log 4)
Problém 3: Napište 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 jako jeden logaritmus.
Řešení:
3log 2 + 5 log3 – 5log 2
= log 2 3 + log 3 5 - log 2 5
= log 8 + log 243 – log 32
= log(8 × 243) – log 32
= log 1944 – log 32
= log (1944/32)
Problém 4: Zapište log 16 – log 2 jako jeden logaritmus.
Řešení:
log(16/2)
= log(8)
= log(2 3 )
= 3 log 2
Problém 5: zapište 3 log 4 jako jeden logaritmus
Řešení:
Ze zákona o vládě moci to můžeme napsat jako,
= log 4 3
= log 64
Problém 6: Zapište 2 log 3-3 log 2 jako jeden logaritmus
Řešení:
log 3 2 - log 2 3
= log 9 – log 8
= log (9/8)
Problém 7: Zapište log 243 + log 1 jako jeden logaritmus
Řešení:
log (243 × 1)
= log 243
