INTEGRAČNÍ VZORCE - SEZNAM INTEGRÁLNÍCH VZORCŮ, PŘÍKLADY A ČASTO KLADENÉ OTÁZKY

Integrační vzorce jsou základní vzorce, které se používají k řešení různých integrálních problémů. Používají se k nalezení integrace algebraických výrazů, goniometrických poměrů, inverzních goniometrických funkcí a logaritmických a exponenciálních funkcí. Tyto integrační vzorce jsou velmi užitečné pro nalezení integrace různých funkcí.

Integrace je inverzní proces diferenciace, tj. pokud d/dx (y) = z, pak ∫zdx = y. Integrace libovolné křivky udává plochu pod křivkou. Integraci najdeme dvěma metodami Neurčitá integrace a Jednoznačná integrace. V neurčité integraci neexistuje limit pro integraci, zatímco v určité integraci existuje limit, pod kterým je funkce integrována.

Pojďme se o nich dozvědět integrální vzorce, a jejich klasifikace, podrobně v tomto článku.

Obsah

Integrální počet
Co jsou integrační vzorce?
Integrační vzorce goniometrických funkcí
Integrační vzorce inverzních goniometrických funkcí
Pokročilé integrační vzorce
Různé integrační vzorce
Aplikace integrálů
Definitivní integrační vzorec
Vzorec neurčité integrace

Integrální počet

Integrální počet je obor počtu, který se zabývá teorií a aplikacemi integrálů. Proces hledání integrálů se nazývá integrace. Integrální počet pomáhá při hledání anti-derivátů funkce. Anti-deriváty se také nazývají integrály funkce. Označuje se tím ∫f(x)dx. Integrální počet se zabývá celkovou hodnotou, jako jsou délky, plochy a objemy. Integrál lze použít k nalezení přibližných řešení určitých rovnic daných dat. Integrální počet zahrnuje dva typy integrace:

Neurčitý Integrály
Jednoznačné integrály

Co jsou integrační vzorce?

Integrační vzorce byly široce prezentovány jako následující sady vzorců. Vzorce zahrnují základní integrační vzorce, integraci goniometrických poměrů, inverzní goniometrické funkce, součin funkcí a některé pokročilé sady integračních vzorců. Integrace je způsob, jak sjednotit části za účelem nalezení celku. Je to inverzní operace diferenciace. Základní integrační vzorec tedy zní

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrační vzorce

Pomocí toho jsou odvozeny následující integrační vzorce.

Různé vzorce integrálního počtu jsou

d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
∫ x ⁿ dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
∫(1/x) dx = log _{to je} |x| + C
∫e ^X dx = e ^X + C
∫a ^X dx = (a ^X / log _{to je} a) + C

Více, integrální vzorce jsou diskutovány níže v článku,

Poznámka:

d/dx [∫f(x) dx] = f(x)

∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , kde k je konstantní

∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Základní integrační vzorce

Některé ze základních vzorců integrace, které se používají k řešení integračních problémů, jsou diskutovány níže. Jsou odvozeny ze základního teorému integrace. Seznam základních integrálních vzorců je uveden níže:

∫ 1 dx = x + C
∫ x ⁿ dx = x ^{(n + 1)} /(n + 1)+ C
∫ 1/x dx = log |x| + C
∫ a ^X dx = e ^X + C
∫ a ^X dx = a ^X /log a+ C
∫ a ^X [f(x) + f'(x)] dx = e ^X f(x) + C {kde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klasifikace integrálních vzorců

Integrální vzorce jsou klasifikovány do různých kategorií na základě následující funkce.

Racionální funkce
Iracionální funkce
Hyperbolické funkce
Inverzní hyperbolické funkce
Goniometrické funkce
Inverzní goniometrické funkce
Exponenciální funkce
Logaritmické funkce

Integrační vzorce goniometrických funkcí

Integrační vzorce goniometrických funkcí se používají k řešení integrálních rovnic zahrnujících goniometrické funkce. Níže je uveden seznam integrálních vzorců zahrnujících goniometrické a inverzní goniometrické funkce,

∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = -cos x + C
∫ sec ² x dx = tan x + C
∫ kosec ² x dx = -dětská postýlka x + C
∫ sek x tan x dx = sek x + C
∫ cosec x postýlka x dx = -cosec x + C
∫ tan x dx = log |sec x| +C
∫ postýlka x dx = log |sin x| + C
∫ sec x dx = log |sec x + tan x| + C
∫ cosec x dx = log |cosec x – postýlka x| + C

Integrační vzorce inverzních goniometrických funkcí

Níže jsou uvedeny různé integrační vzorce inverzních goniometrických funkcí, které se používají k řešení integrálních otázek,

∫1/√(1 – x ² ) dx = hřích ^-1 x + C
∫ -1/√(1 – x ² ) dx = cos ^-1 x + C
∫1/(1 + x ² ) dx = tan ^-1 x + C
∫ -1/(1 + x ² ) dx = dětská postýlka ^-1 x + C
∫ 1/x√ (x ² – 1) dx = sec ^-1 x + C
∫ -1/x√ (x ² – 1) dx = kosec ^-1 x + C

Pokročilé integrační vzorce

Některé další pokročilé integrační vzorce, které jsou velmi důležité pro řešení integrálů, jsou diskutovány níže,

∫1/(x ² – a ² ) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
∫ 1/(a ² - X ² ) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
∫1/(x ² + a ² ) dx = 1/a tan ^-1 x/a + C
∫1/√(x ² – a ² )dx = log |x +√(x ² – a ² )| + C
∫ √ (x ² – a ² ) dx = x/2 √(x ² – a ² ) -a ² /2 log |x + √(x ² – a ² )| + C
∫1/√(a ² - X ² ) dx = hřích ^-1 x/a + C
∫√ (a ² - X ² ) dx = x/2 √(a ² - X ² ) dx + a ² /2 bez ^-1 x/a + C
∫1/√(x ² + a ² ) dx = log |x + √(x ² + a ² )| + C
∫ √ (x ² + a ² ) dx = x/2 √(x ² + a ² )+ a ² /2 log |x + √(x ² + a ² )| + C

Různé integrační vzorce

K řešení různých typů integrálních otázek se používají různé typy integračních metod. Každá metoda je standardním výsledkem a lze ji považovat za vzorec. Některé z důležitých metod jsou popsány níže v tomto článku. Pojďme se podívat na tři důležité integrační metody.

Integrace podle vzorce dílů
Integrace pomocí substitučního vzorce
Integrace pomocí vzorce dílčích zlomků

Integrace podle vzorce dílů

Integrace po částech Vzorec se použije, když je daná funkce snadno popsána jako součin dvou funkcí. Integrace podle Partsových vzorců používaná v matematice je uvedena níže,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Příklad: Vypočítejte ∫ xe ^X dx

Řešení:

∫ auto ^X dx má tvar ∫ f(x) g(x) dx

nechť f(x) = x a g(x) = e ^X

víme, že ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ auto ^X dx = x ∫e ^X dx – ∫( 1 ∫e ^X dx) dx+ c

= auto ^X - To je ^X + c

Integrace pomocí substitučního vzorce

Integrace pomocí substitučního vzorce se použije, když je funkce funkcí jiné funkce. tj. nechť I = ∫ f(x) dx, kde x = g(t) tak, že dx/dt = g'(t), pak dx = g'(t)dt

Nyní, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Příklad: Ohodnotit ∫ (4x +3) ³ dx

Řešení:

Nechť u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3) ³ dx

= 1/4 ∫(u) ³ z

= 1/4. v ⁴ /5

= u ⁴ /dvacet

= 4x +3) ⁴ /dvacet

Integrace pomocí vzorce dílčích zlomků

Integrace pomocí dílčích zlomků Vzorec se používá, když je vyžadován integrál P(x)/Q(x) a P(x)/Q(x) je nesprávný zlomek, takže stupeň P(x) je menší než ( <) stupně Q(x), pak se zlomek P(x)/Q(x) zapíše jako

P(x)/Q(x) = R(x) + P ₁ (x)/ Q(x)

kde

R(x) je polynom v x
P ₁ (x)/ Q(x) je správná racionální funkce

Nyní integrace R(x) + P ₁ (x)/ Q(x) lze snadno vypočítat pomocí výše uvedených vzorců.

Aplikace integrálů

Integrální vzorce jsou velmi užitečné vzorce v matematice, které se používají pro různé úkoly. Rozličný aplikace integrálů zahrnuje:

Zjištění délky křivky
Nalezení oblasti pod křivkou
Zjištění přibližných hodnot funkce
Určení dráhy objektu a další
Chcete-li najít oblast pod křivkou
K nalezení plochy a objemu nepravidelných tvarů
Chcete-li najít těžiště nebo těžiště

Tyto vzorce jsou v zásadě rozděleny do dvou kategorií,

Definitivní integrační vzorce
Vzorce neurčité integrace

Definitivní integrační vzorec

Určité integrální vzorce se používají, když je dána limita integrace. V určité integraci je řešením otázky konstantní hodnota. Obecně je definitivní integrace řešena jako,

∫ _A ^b f(x) dx = F(b) – F(a)

Vzorec neurčité integrace

Neurčitá integrace Vzorce se používají k řešení neurčité integrace, když není dán limit integrace. Při neurčité integraci používáme integrační konstantu, která se obecně označuje C

∫f(x) = F(x) + C

Neurčité integrály

Definujte integrální vlastnosti

Integrace goniometrických funkcí

Příklady na integrální vzorce

Příklad 1: Vyhodnoťte

∫ x ⁶ dx
∫1/x ⁴ dx
∫ ³ √x dx
∫3 ^X dx
∫4e ^X dx
∫ (sin x/cos ² x) dx
∫ (1/hřích ² x) dx
∫[1/√(4 – x ² )] dx
∫[1/3√(x ² – 9)] dx
∫(1 /cos x tan x) dx

Řešení:

(i)∫x ⁶ dx

= (x ⁶⁺¹ )/(6 + 1) + C [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x ⁷ /7) + C

(ii) ∫1/x ⁴ dx

= ∫x ^-4 dx [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x ^-4+1 )/(-4 + 1) + C

= -(x ^-3 / 3) + C

= -(1/3x ³ ) + C

(iii) ∫ ³ √x dx

= ∫x ^1/3 dx [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x ^(1/3)+1 /((1/3)+ 1) + C

= x ^4/3 / (4/3) + C

= (3/4) (x ^4/3 ) + C

(iv) ∫3 ^X dx

= (3 ^X / log _{to je} 3) + C [ ∫a ^X dx = (a ^X / log _{to je} a) + C]

(v) ∫4e ^X dx

= 4°e ^X dx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , kde k je konstantní]

= 4 a ^X + C [∫e ^X dx = e ^X + C]

(vi) ∫(sin x/cos ² x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x. sek x dx [ ∫tan x .sec x dx = sek x + C]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin ² x) dx

= ∫cosec ² x dx [∫cosec ² x dx = -dětská postýlka x + C ]

= -dětská postýlka x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x ² )] dx

= ∫[1/√(2 ² - X ² )] dx [to víme, dx = hřích ^-1 (x/a) + C]

= bez ^-1 (x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x ² – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x ² - 3 ² )}] dx [my to víme, intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sec ^-1 (x/a) + C]

= (1/3) sec ^-1 (x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [víme, že ∫cosec x dx = log |cosec x – postýlka x| + C]

= log |cosec x – postýlka x| +C

Příklad 2: Vyhodnoťte ∫{e ^9log _{to je} ^X + a ^8log _{to je} ^X }/{To je ^6log _{to je} ^X + a ^5log _{to je} ^X } dx

Řešení:

Od té doby, to je ^třesení _{to je} ^X = x ^A

∫{e ^9log _{to je} ^X + a ^8log _{to je} ^X }/{To je ^6log _{to je} ^X + a ^5log _{to je} ^X } dx

= ∫{x ⁹ + x ⁸ }/{X ⁶ + x ⁵ } dx

= ∫[x ⁸ (x + 1)]/[x ⁵ (x + 1)] dx

=∫ x ⁸ /X ⁵ dx

= ∫x ³ dx [to víme, ∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x ⁴ /4) + C

Příklad 3: Vyhodnoťte ∫ sin x + cos x dx

Řešení:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [víme, že ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [víme, že ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Příklad 4: Vyhodnoťte ∫4 ^x+2 dx

Řešení:

∫4 ^x+2 dx = ∫4 ^X . 4 ² dx

= ∫16. 4 ^X dx [ víme, že∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , kde k je konstantní]

= 16∫ 4 ^X dx [∫a ^X dx = (a ^X / log _{to je} a) + C]

= 16 (4 ^X /log 4) + C

Příklad 5: Vyhodnoťte ∫(x ² + 3x + 1) dx

Řešení:

∫ (x ² + 3x + 1) dx

= ∫x ² dx+ 3∫x dx + 1∫ x ⁰ dx [To víme, ∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x ²⁺¹ /2+1] + 3[[x ¹⁺¹ /1+1]] + [x ⁰⁺¹ /0+1] + C

= [x ³ /3] + 3[x ² /2] + x + C

Příklad 6: Vyhodnoťte ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Řešení:

1 + cos 2x = 2 cos ² X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos ² x)] dx

= ∫(2/kos ² x) dx

= ∫2 s ² xdx

= 2 ∫s ² x dx [To víme, ∫sec ² x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Příklad 7: Vyhodnoťte ∫(3cos x – 4sin x + 5 sec ² x) dx

Řešení:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sec ² x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5s ² x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, kde k je konstanta]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫s ² x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Cvičební problémy s integračními vzorci

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Časté dotazy k integračním vzorcům

Co jsou všechny integrační vzorce?

Integrační vzorce jsou vzorce, které se používají k řešení různých integračních problémů,

∫ 1 dx = x + C

∫ x ⁿ dx = x ^{(n + 1)} /(n + 1)+ C

∫ 1/x dx = log |x| + C

∫ a ^X dx = e ^X + C

∫ a ^X dx = a ^X /log a+ C

∫ a ^X [f(x) + f'(x)] dx = e ^X f(x) + C {kde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Jaké jsou integrační vzorce UV?

Integrační vzorec UV je,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Co znamená integrace v matematice?

Pokud je derivace funkce g(x) f(x), pak integrace f(x) je g(x), tj. ∫f(x)dx = g(x). Integrace je znázorněna symbolem ∫

Jak provedeme integraci pomocí integračních vzorců?

Integrace lze dosáhnout pomocí vzorců,

Definujte malou část objektu v určitých rozměrech, které přidáním nekonečně krát vytvoří celý objekt.

Pomocí integračních vzorců přes tuto malou část podél různých dimenzí získáme úplný objekt.

Co je integrální vzorec podle části?

Integrální vzorec podle části se používá k řešení integrálu, kde je dán nesprávný zlomek.

Jaké je použití integračních vzorců?

Integrační vzorce se používají k řešení různých integrálních problémů. Pomocí integrace lze snadno vyřešit různé problémy, se kterými se v každodenním životě setkáváme, jako je nalezení těžiště libovolného předmětu, nalezení trajektorie rakety, rakety, letadla a další.