Binomické náhodné proměnné
V tomto příspěvku budeme diskutovat o binomických náhodných proměnných.
Předpoklad: Náhodné proměnné
Specifický typ diskrétní náhodná proměnná, která počítá, jak často se určitá událost vyskytuje v pevném počtu pokusů nebo pokusů.
Aby proměnná byla binomickou náhodnou proměnnou, musí být splněny VŠECHNY následující podmínky:
- Existuje pevný počet pokusů (pevná velikost vzorku).
- Při každé zkoušce se událost zájmu buď vyskytne, nebo nenastane.
- Pravděpodobnost výskytu (nebo ne) je u každého pokusu stejná.
- Zkoušky jsou na sobě nezávislé.
Matematické zápisy
n = number of trials
p = probability of success in each trial
k = number of success in n trials
Nyní se pokusíme zjistit pravděpodobnost k úspěchu v n pokusech.
Zde je pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu p nezávislá na ostatních pokusech.
Nejprve tedy vybereme k pokusů, ve kterých bude úspěch a v klidových n-k pokusech bude neúspěch. Počet způsobů, jak to udělat, je
Protože všech n událostí je nezávislých, je pravděpodobnost k úspěchu v n pokusech ekvivalentní násobení pravděpodobnosti pro každý pokus.
Zde je jeho k úspěchu a n-k selhání Takže pravděpodobnost pro každý způsob dosažení k úspěchu a n-k selhání je
Konečná pravděpodobnost je tedy
(number of ways to achieve k success
and n-k failures)
*
(probability for each way to achieve k
success and n-k failure)
Pak je binomická náhodná pravděpodobnost dána vztahem:
Nechť X je binomická náhodná veličina s počtem pokusů n a pravděpodobností úspěchu v každém pokusu p.
Očekávaný počet úspěchů je dán
E[X] = np
Rozptyl počtu úspěchů je dán
Var[X] = np(1-p)
Příklad 1 : Zvažte náhodný experiment, ve kterém je 10krát hozena zaujatá mince (pravděpodobnost hlavy = 1/3). Najděte pravděpodobnost, že se objeví počet hlav 5.
Řešení:
Let X be binomial random variable
with n = 10 and p = 1/3
P(X=5) = ?
Zde je implementace pro totéž
C++
Java// C++ program to compute Binomial Probability #include#include using namespace std ; // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code int main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); cout < < 'Probability of ' < < k ; cout < < ' heads when a coin is tossed ' < < n ; cout < < ' times where probability of each head is ' < < p < < endl ; cout < < ' is = ' < < probability < < endl ; } Python3// Java program to compute Binomial Probability import java.util.* ; class GFG { // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . pow ( p k ) * ( float ) Math . pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void main ( String [] args ) { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); System . out . print ( 'Probability of ' + k ); System . out . print ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); System . out . println ( ' times where probability of each head is ' + p ); System . out . println ( ' is = ' + probability ); } } /* This code is contributed by Mr. Somesh Awasthi */C## Python3 program to compute Binomial # Probability # function to calculate nCr i.e. # number of ways to choose r out # of n objects def nCr ( n r ): # Since nCr is same as nC(n-r) # To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ): r = n - r ; answer = 1 ; for i in range ( 1 r + 1 ): answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; return answer ; # function to calculate binomial r.v. # probability def binomialProbability ( n k p ): return ( nCr ( n k ) * pow ( p k ) * pow ( 1 - p n - k )); # Driver code n = 10 ; k = 5 ; p = 1.0 / 3 ; probability = binomialProbability ( n k p ); print ( 'Probability of' k 'heads when a coin is tossed' end = ' ' ); print ( n 'times where probability of each head is' round ( p 6 )); print ( 'is = ' round ( probability 6 )); # This code is contributed by mitsJavaScript// C# program to compute Binomial // Probability. using System ; class GFG { // function to calculate nCr // i.e. number of ways to // choose r out of n objects static int nCr ( int n int r ) { // Since nCr is same as // nC(n-r) To decrease // number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; int answer = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial // r.v. probability static float binomialProbability ( int n int k float p ) { return nCr ( n k ) * ( float ) Math . Pow ( p k ) * ( float ) Math . Pow ( 1 - p n - k ); } // Driver code public static void Main () { int n = 10 ; int k = 5 ; float p = ( float ) 1.0 / 3 ; float probability = binomialProbability ( n k p ); Console . Write ( 'Probability of ' + k ); Console . Write ( ' heads when a coin ' + 'is tossed ' + n ); Console . Write ( ' times where ' + 'probability of each head is ' + p ); Console . Write ( ' is = ' + probability ); } } // This code is contributed by nitin mittal.PHP< script > // Javascript program to compute Binomial Probability // function to calculate nCr i.e. number of // ways to choose r out of n objects function nCr ( n r ) { // Since nCr is same as nC(n-r) // To decrease number of iterations if ( r > n / 2 ) r = n - r ; let answer = 1 ; for ( let i = 1 ; i <= r ; i ++ ) { answer *= ( n - r + i ); answer /= i ; } return answer ; } // function to calculate binomial r.v. probability function binomialProbability ( n k p ) { return nCr ( n k ) * Math . pow ( p k ) * Math . pow ( 1 - p n - k ); } // driver program let n = 10 ; let k = 5 ; let p = 1.0 / 3 ; let probability = binomialProbability ( n k p ); document . write ( 'Probability of ' + k ); document . write ( ' heads when a coin is tossed ' + n ); document . write ( ' times where probability of each head is ' + p ); document . write ( ' is = ' + probability ); // This code is contributed by code_hunt. < /script>výstup:
Probability of 5 heads when a coin is tossed 10 times where probability of each head is 0.333333
is = 0.136565Vytvořit kvíz
![Pes připoutaný před domem v Texasu, povodeň jí stoupla do hlavy [Záchranné VIDEO]](https://techcodeview.com/img/trending/65/dog-chained-to-front-of-house-in-texas-flood-waters-up-to-her-head-rescue-video.webp)
