Fórmula de suma
En matemàtiques, la suma és l'addició bàsica d'una successió de nombres qualsevol, anomenada sumands o sumands; el resultat és la seva suma o total. En matemàtiques, els nombres, les funcions, els vectors, les matrius, els polinomis i, en general, els elements de qualsevol objecte matemàtic es poden associar amb una operació anomenada suma/suma, denotada com +.
La suma d'una seqüència explícita es denota com una successió d'addicions. Per exemple, la suma de (1, 3, 4, 7) pot basar-se en 1 + 3 + 4 + 7, i el resultat de la notació anterior és 15, és a dir, 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Perquè l'operació d'addició és associativa i commutativa, no hi ha necessitat de parèntesis mentre s'enumeren la sèrie/seqüència, i el resultat serà el mateix independentment de l'ordre dels sumands.
Taula de contingut
- Què és la fórmula de suma?
- On utilitzar la fórmula de suma?
- Propietats de la suma
- Fórmules de suma estàndard
- Exemple de fórmula de suma
- Preguntes freqüents sobre la fórmula de suma
Què és la fórmula de suma?
La suma o notació sigma (∑) és un mètode utilitzat per escriure una suma llarga de manera concisa. Aquesta notació es pot adjuntar a qualsevol fórmula o funció.
Per exemple, i=1 ∑ 10 (i) és una notació sigma de l'addició de la seqüència finita 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 on el primer element és 1 i l'últim element és 10.
Fórmules de suma
On utilitzar la fórmula de suma?
La notació de suma es pot utilitzar en diversos camps de les matemàtiques:
- Seqüència en sèrie
- Integració
- Probabilitat
- Permutació i combinació
- Estadístiques
Nota: Una suma és una forma curta d'addició repetitiva. També podem substituir la suma per un bucle d'addició.
Propietats de la suma
Propietat 1
i=1 ∑ n c = c + c + c + .... + c (n) vegades = nc
Per exemple: Trobeu el valor de i=1 ∑ 4 c.
Utilitzant la propietat 1 podem calcular directament el valor de i=1 ∑ 4 c com 4×c = 4c.
Propietat 2
c=1 ∑ n kc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) vegades = k × (1 + … + n) = k c=1 ∑ n c
Per exemple: Trobeu el valor de i=1 ∑ 4 5i.
Utilitzant les propietats 2 i 1 podem calcular directament el valor de i= 1 ∑ 4 5i com 5 × i=1 ∑ 4 i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.
Propietat 3
c=1 ∑ n (k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) vegades = (n × k) + (1 + … + n) = nk + c=1 ∑ n c
Per exemple: Trobeu el valor de i=1 ∑ 4 (5+i).
Utilitzant les propietats 2 i 3 podem calcular directament el valor de i=1 ∑ 4 (5+i) com 5×4 + i=1 ∑ 4 i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.
Propietat 4
k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
Per exemple: Troba el valor de i=1 ∑ 4 (i + i 2 ).
Utilitzant la propietat 4 podem calcular directament el valor de i=1 ∑ 4 (i + i 2 ) com i=1 ∑ 4 i + i=1 ∑ 4 i 2 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.
Fórmules de suma estàndard
Diverses fórmules de suma són,
Suma dels primers n nombres naturals: (1+2+3+…+n) = i=1 ∑ n (i) = [n ×(n +1)]/2
Suma del quadrat dels primers n nombres naturals: (1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 ) = i=1 ∑ n (i 2 ) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6
Suma del cub dels primers n nombres naturals: (1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 ) = i=1 ∑ n (i 3 ) = [n 2 ×(n +1) 2 )]/4
Suma dels primers n nombres naturals parells: (2+4+…+2n) = i=1 ∑ n (2i) = [n ×(n +1)]
Suma dels primers n nombres naturals senars: (1+3+…+2n-1) = i=1 ∑ n (2i-1) = n 2
Suma del quadrat dels primers n nombres naturals parells: (2 2 +4 2 +…+(2n) 2 ) = i=1 ∑ n (2i) 2 = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
Suma del quadrat dels primers n nombres naturals senars: (1 2 +3 2 +…+(2n-1) 2 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 2 = [n(2n+1)(2n-1)] / 3
Suma del cub dels primers n nombres naturals parells: (2 3 +4 3 +…+(2n)3) = i=1 ∑ n (2i) 3 = 2[n(n+1)] 2
Suma del cub dels primers n nombres naturals senars: (1 3 +3 3 +…+(2n-1) 3 ) = i=1 ∑ n (2i-1) 3 = n 2 (2n 2 – 1)
Articles relacionats:
- Suma de nombres naturals
- Suma en matemàtiques
- Operacions aritmètiques
- Progressió aritmètica i progressió geomètrica
Exemple de fórmula de suma
Exemple 1: Trobeu la suma dels primers 10 nombres naturals, utilitzant la fórmula de suma.
Solució:
Utilitzant la fórmula de suma per a la suma de n nombre natural i=1 ∑ n (i) = [n ×(n +1)]/2
Tenim la suma dels 10 primers nombres naturals = i=1 ∑ 10 (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55
Exemple 2: Trobeu la suma dels 10 primers nombres naturals més grans que 5, utilitzant la fórmula de suma.
Solució:
Segons la pregunta:
Suma dels 10 primers nombres naturals superiors a 5 = i=6 ∑ 15 (i)
= i=1 ∑ 15 (i)- i=1 ∑ 5 (i)
= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2
= 120 – 15
= 105
Exemple 3: Trobeu la suma de la seqüència finita donada 1 2 + 2 2 + 3 2 + … 8 2 .
Solució:
La seqüència donada és 1 2 + 2 2 + 3 2 + … 8 2 , es pot escriure com i=1 ∑ 8 i 2 utilitzant la propietat/fórmula de suma
i=1 ∑ 8 i 2 = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6
= 204
Exemple 4: simplificar c=1 ∑ n kc.
Solució:
Donada la fórmula de suma = c=1 ∑ n kc
= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termes)
= k (1 + 2 + 3 +….. + n)
c=1 ∑ n kc = k c=1 ∑ n c
Exemple 5: Simplifica i avalua x =1 ∑ n (4+x).
Solució:
La suma donada és x=1 ∑ n (4+x)
Com ho sabem c=1 ∑ n (k+c) = nk + c=1 ∑ n c
La suma donada es pot simplificar com,
4n+ x=1 ∑ n (x)
Exemple 6: simplificar x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
Solució:
La suma donada és x=1 ∑ n (2x+x 2 ).
com ho sabem k=1 ∑ n (f(k) + g(k)) = k=1 ∑ n f(k) + k=1 ∑ n g(k)
la suma donada es pot simplificar com x=1 ∑ n (2x) + x=1 ∑ n (x 2 ).
Preguntes freqüents sobre la fórmula de suma
Què és la fórmula de suma de nombres naturals?
La suma dels nombres naturals de l'1 al n, es troba mitjançant la fórmula n (n + 1) / 2. Per exemple, la suma dels primers 100 nombres naturals és 100 (100 + 1) / 2 = 5050.
Què és la fórmula de suma general?
Fórmula general de suma que s'utilitza per trobar la suma d'una successió {a 1 , a 2 , a 3 ,…,a n } és, ∑a i = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
Com s'utilitza ∑?
∑ és el símbol de la suma i s'utilitza per trobar la suma de sèries.
Quina és la fórmula per a la suma n?
La fórmula per a la suma de n nombres naturals és, la fórmula de la suma de n nombres és [n(n+1)2]
