Sigui L un conjunt no buit tancat sota dues operacions binàries anomenades reunir i unir, denotades per ∧ i ∨. Aleshores L s'anomena gelosia si es compleixen els següents axiomes on a, b, c són elements de L:

1) Llei commutativa: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Dret associatiu:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Llei d'absorció: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Dualitat:

El dual de qualsevol enunciat en una gelosia (L,∧ ,∨ ) es defineix com un enunciat que s'obté intercanviant ∧ i ∨.

Per exemple , el dual de a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a és a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Reticles limitades:

Una gelosia L s'anomena gelosia acotada si té un element més gran 1 i un element mínim 0.

Exemple:

1. El conjunt de potències P(S) del conjunt S sota les operacions d'intersecció i unió és una xarxa acotada ja que ∅ és l'element menor de P(S) i el conjunt S és l'element més gran de P(S).
2. El conjunt de +ve enter I ₊ sota l'ordre habitual de ≦ no és una xarxa acotada ja que té un element mínim 1 però l'element més gran no existeix.

Propietats de les geloses limitades:

Si L és una xarxa acotada, llavors per a qualsevol element a ∈ L, tenim les identitats següents:

1. a ∨ 1 = 1
2. a ∧1= a
3. a ∨0=a
4. a ∧0=0

Teorema: Demostreu que tota xarxa finita L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ .....a _n } està acotat.

Prova: Hem donat la xarxa finita:

L = {a ₁ ,a ₂ ,a ₃ .....a _n }

Per tant, l'element més gran de les reticules L és a ₁ ∨ a ₂ ∨ a _{3∨....∨a n .}

A més, el menor element de la xarxa L és a ₁ ∧ a ₂ ∧a ₃ ∧....∧a _n .

Com que existeixen els elements més grans i mínims per a cada xarxa finita. Per tant, L està acotada.

Subgelotes:

Considereu un subconjunt L no buit ₁ d'una gelosia L. Aleshores L ₁ s'anomena sub-retes de L si L ₁ en si mateix és una gelosia, és a dir, l'operació de L és a dir, a ∨ b ∈ L ₁ i a ∧ b ∈ L ₁ sempre que a ∈ L ₁ i b ∈ L ₁ .

Exemple: Considereu la xarxa de tots +ve nombres enters I ₊ sota l'operació de la divisibilitat. La gelosia D _n de tots els divisors de n > 1 és una sub-retes de I ₊ .

Determineu totes les subreticules de D ₃₀ que continguin almenys quatre elements, D ₃₀ ={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Solució: Les subreticules de D ₃₀ que continguin almenys quatre elements són els següents:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Reticules isomòrfiques:

Dues gelosies L ₁ i L ₂ s'anomenen reticules isomòrfiques si hi ha una bijecció de L ₁ a L ₂ és a dir, f: L ₁ ⟶ L ₂ , tal que f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) i f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Exemple: Determineu si les xarxes que es mostren a la figura són isomòrfiques.

Solució: Les gelosies que es mostren a la figura són isomòrfiques. Considereu el mapeig f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Per exemple f (b ∧ c) = f (a) = 1. També, tenen f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1

Gelosia distributiva:

Una xarxa L s'anomena gelosia distributiva si per a qualsevol element a, b i c de L, compleix les següents propietats distributives:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Si la xarxa L no compleix les propietats anteriors, s'anomena xarxa no distributiva.

Exemple:

1. El conjunt de potències P (S) del conjunt S sota l'operació d'intersecció i unió és una funció distributiva. Des que,
   a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   i, també a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) per a qualsevol conjunt a, b i c de P(S).
2. La gelosia que es mostra a la figura II és distributiva. Atès que, satisfà les propietats distributives de tots els triples ordenats que es prenen d'1, 2, 3 i 4.

Complements i gelosies complementades:

Sigui L una xarxa acotada amb la cota inferior o i la cota superior I. Sigui a un element si L. Un element x de L s'anomena complement de a si a ∨ x = I i a ∧ x = 0

Es diu que una xarxa L es complementa si L està acotada i cada element de L té un complement.

Exemple: Determineu el complement de a i c a la figura:

Solució: El complement de a és d. Com que a ∨ d = 1 i a ∧ d = 0

El complement de c no existeix. Com que, no existeix cap element c tal que c ∨ c'=1 i c ∧ c'= 0.

Gelosia modular:

Una gelosia (L, ∧,∨) s'anomena gelosia modular si a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c sempre que a ≦ c.

Producte directe de gelosies:

Deixar (L ₁ ∨ ₁ ∧ ₁ ) i (L ₂ ∨ ₂ ∧ ₂ ) ser dues gelosies. Aleshores (L, ∧,∨) és el producte directe de les gelosies, on L = L ₁ x L ₂ en què l'operació binària ∨(unir) i ∧(reunir) a L són tals que per a qualsevol (a ₁ ,b ₁ ) i (a ₂ ,b ₂ ) en L.

(a ₁ ,b ₁ )∨( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∨ ₁ a ₂ ,b ₁ ∨ ₂ b ₂ )
i (a ₁ ,b ₁ ) ∧ ( a ₂ ,b ₂ )=(a ₁ ∧ ₁ a ₂ ,b ₁ ∧ ₂ b ₂ ).

Exemple: Considereu una gelosia (L, ≦) tal com es mostra a la fig. on L = {1, 2}. Determineu les reticules (L ² , ≦), on L ² = L x L.

Solució: La gelosia (L ² , ≦) es mostra a la figura: