logo

TechCodeview

Matemàtiques-Classe-12

Identitats trigonomètriques inverses

Identitats trigonomètriques inverses: En matemàtiques, les funcions trigonomètriques inverses també es coneixen com a funcions d'arcus o funcions antitrigonomètriques. Les funcions trigonomètriques inverses són les funcions inverses de les funcions trigonomètriques bàsiques, és a dir, sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant i cotangent. S'utilitza per trobar els angles amb qualsevol raó trigonomètrica. Les funcions trigonomètriques inverses s'utilitzen generalment en camps com la geometria, l'enginyeria, etc. La representació de les funcions trigonomètriques inverses són:

Si a = f(b), aleshores la funció inversa és

b = f -1 (a)

Exemples de funcions trigonomètriques inverses inverses són sin -1 x, cos -1 x, tan -1 x, etc.

Taula de contingut

Domini i rang d'identitats trigonomètriques inverses

La taula següent mostra algunes funcions trigonomètriques amb el seu domini i rang.

Funció Domini Interval
y = sense -1 x [-1, 1] [-p/2, p/2]
i = cos -1 x [-1, 1] [0, p]
i = cosec -1 x R – (-1,1 ) [-π/2,π/2] – {0}
y = sec -1 x R – (-1, 1) [0, π] – {π/2}
i = tan -1 x R (-p/2, p/2)
y = cot -1 x R (0, p)

Propietats de les funcions trigonomètriques inverses

Les propietats de les funcions trigonomètriques inverses són les següents:

Propietat 1:

  1. sense -1 (1/x) = cosec -1 x, per a x ≥ 1 o x ≤ -1
  2. cos -1 (1/x) = seg -1 x, per a x ≥ 1 o x ≤ -1
  3. tan -1 (1/x) = bressol -1 x, per a x> 0

Propietat 2:

  1. sense -1 (-x) = -sense -1 x, per a x ∈ [-1 , 1]
  2. tan -1 (-x) = -tan -1 x, per a x ∈ R
  3. cosec -1 (-x) = -cosec -1 x, per |x| ≥ 1

Propietat 3

  1. cos -1 (-x) = π – cos -1 x, per a x ∈ [-1 , 1]
  2. sec -1 (-x) = π – sec -1 x, per |x| ≥ 1
  3. bressol -1 (-x) = π – bressol -1 x, per a x ∈ R

Propietat 4

  1. sense -1 x + cos -1 x = π/2, per a x ∈ [-1,1]
  2. tan -1 x + bressol -1 x = π/2, per a x ∈ R
  3. cosec -1 x + seg -1 x = π/2 , per a |x| ≥ 1

Propietat 5

  1. tan -1 x + tan -1 i = tan -1 ( x + y )/(1 – xy), per a xy <1
  2. tan -1 x – tan -1 i = tan -1 (x – y)/(1 + xy), per a xy> -1
  3. tan -1 x + tan -1 y = π + tan -1 (x + y)/(1 – xy), per a xy>1; x, y>0

Propietat 6

  1. 2 tan -1 x = sense -1 (2x)/(1 + x 2 ), per |x| ≤ 1
  2. 2tan -1 x = cos -1 (1-x 2 )/(1 + x 2 ), per a x ≥ 0
  3. 2tan -1 x = tan -1 (2x)/(1 – x 2 ), per a -1

Identitats de la funció trigonomètrica inversa

A continuació es mostren les identitats de les funcions trigonomètriques inverses:

  1. sense -1 (sin x) = x sempre que -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos -1 (cos x) = x sempre que 0 ≤ x ≤ π
  3. tan -1 (tan x) = x sempre que -π/2
  4. sense (sense -1 x) = x sempre que -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos -1 x) = x sempre que -1 ≤ x ≤ 1
  6. tan (tan -1 x) = x sempre que x ∈ R
  7. cosec(cosec -1 x) = x sempre que -1 ≤ x ≤ ∞ o -∞
  8. seg (seg -1 x) = x sempre que 1 ≤ x ≤ ∞ o -∞
  9. bressol (bressol -1 x) = x sempre que -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos -1 x = cos -1 (2x 2 – 1)
  14. 2sin -1 x = sense -1 2x√(1 – x 2 )
  15. 3sin -1 x = sense -1 (3x - 4x 3 )
  16. 3cos -1 x = cos -1 (4x 3 – 3x)
  17. 3tan -1 x = tan -1 ((3x – x 3 /1 – 3x 2 ))
  18. sense -1 x + sense -1 y = sense -1 { x√(1 – y 2 ) + y√(1 – x 2 )}
  19. sense -1 x – sense -1 y = sense -1 { x√(1 – y 2 ) – y√(1 – x 2 )}
  20. cos -1 x + cos -1 i = cos -1 [xy – √{(1 – x 2 )(1 – i 2 )}]
  21. cos -1 x – cos -1 i = cos -1 [xy + √{(1 – x 2 )(1 – i 2 )}
  22. tan -1 x + tan -1 i = tan -1 (x + y/1 – xy)
  23. tan -1 x – tan -1 i = tan -1 (x – y/1 + xy)
  24. tan -1 x + tan -1 i +tan -1 z = tan -1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

La gent també veu:

Exemples de problemes sobre identitats trigonomètriques inverses

Question 1: Proveu sense -1 x = seg -1 1/√(1-x 2 )

Solució:

Deixar-ho sense -1 x = y

⇒ sense y = x , (since sense y = perpendicular/hypotenuse ⇒ cos y = √(1- perpendicular) 2 )/hipotenusa)

⇒ cos y = √(1 – x 2 ), aquí hipotenusa = 1

⇒ sec y = 1/cos i

⇒ sec y = 1/√(1 – x 2 )

⇒ i = sec -1 1/√(1 – x 2 )

⇒ sense -1 x = seg -1 1/√(1 – x 2 )

Per tant, demostrat.

Question 2: Proveu tan -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/x

Solució:

Deixeu-ho tan -1 x = y

⇒ tan y = x , perpendicular = x and base = 1

⇒ sense y = x/√(x 2 + 1) , (ja que la hipotenusa = √(perpendicular 2 + base 2 ) )

⇒ cosec i = 1/sense i

⇒ cosec y = √(x 2 + 1)/x

⇒ i = cosec -1 √(x 2 + 1)/x

⇒ tan -1 x = cosec -1 √(x 2 + 1)/x

Per tant, demostrat.

Question 3: Avaluate tan(cos -1 x)

Solució:

Deixem cos -1 x = y

⇒ cos y = x , base = x i hipotenusa = 1 per tant sin y = √(1 – x 2 )/1

⇒ tan y = sense i/ cos i

⇒ tan y = √(1 – x 2 )/x

⇒ i = tan -1 √(1 – x 2 )/x

⇒ cos -1 x = tan -1 √(1 – x 2 )/x

Per tant, tan(cos -1 x) = tan(tan -1 √(1 – x 2 )/x ) = √(1 – x 2 )/x.

Question 4: tan -1 √(sense x) + cot -1 √(sense x) = y. Find cos i.

Solució:

Coneixem aquest bronzejat -1 x + bressol -1 x = /2, per tant, comparant aquesta identitat amb l'equació donada a la pregunta, obtenim y = π/2

Thus, cos i = cos π/2 = 0.

Question 5: tan -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x, x> 0. Resol per a x.

Solució:

tan -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x

⇒ 2tan -1 (1 – x)/(1 + x) = tan -1 x…(1)

Ho sabem, 2tan -1 x = tan -1 2x/(1 – x 2 ).

Per tant, LHS de l'equació (1) es pot escriure com

tan -1 [ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)] 2 }]

= tan -1 [ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x) 2 – (1 – x) 2 }]

= tan -1 [ 2(1 – x 2 )/(4x)]

= tan -1 (1-x 2 )/(2x)

Ja que, LHS = RHS per tant

tan -1 (1-x 2 )/(2x) = tan -1 x

⇒ (1 – x 2 )/2x = x

⇒ 1 – x 2 = 2x 2

⇒ 3x 2 = 1

⇒ x = ± 1/√3

Com que x ha de ser més gran que 0, x = 1/√3 és la resposta acceptable.

Question 6: Proveu tan -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Solució:

Deixeu-ho tan -1 √x = y

⇒ tan y = √x

⇒ tan 2 y = x

Per tant,

RHS = (1/2)cos -1 ( 1- tan 2 i)/(1 + tan 2 i)

= (1/2)cos -1 (cos 2 i – sense 2 i)/(cos 2 i + sense 2 i)

= (1/2)cos -1 (cos 2 i – sense 2 i)

= (1/2)cos -1 (cos 2 anys)

= (1/2)(2 anys)

= i

= tan -1 √x

= LHS

Per tant, demostrat.

Question 7: tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) + bressol -1 (1-x 2 )/(2x) = π/2, -1

Solucions:

tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) + bressol -1 (1-x 2 )/(2x) = π/2

⇒ tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) + tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) = π/2

⇒ 2tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) = ∏/2

⇒ tan -1 (2x)/(1 – x 2 ) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x 2 ) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x 2 ) = 1

⇒ 2x = 1 – x 2

⇒ x 2 + 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(2 2 – 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 o x = -1 – √2

Però segons la pregunta x ∈ (-1, 1), per tant, per a l'equació donada, el conjunt de solucions és x ∈ ∅.

Question 8: tan -1 1/(1 + 1.2) + tan -1 1/(1 + 2.3) + … + tan -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 x. Resol per x.

Solució:

tan -1 1/(1 + 1.2) + tan -1 1/(1 + 2.3) + … + tan -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 x

⇒ tan -1 (2 – 1)/(1 + 1.2) + tan -1 (3 – 2)/(1 + 2.3) + … + tan -1 (n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan -1 x

⇒ (tan -1 2 – tan -1 1) + (tan -1 3 – tan -1 2) + … + (tan -1 (n + 1) – tan -1 n) = tan -1 x

⇒ tan -1 (n + 1) – tan -1 1 = tan -1 x

⇒ tan -1 n/(1 + (n + 1).1) = tan -1 x

⇒ tan -1 n/(n + 2) = tan -1 x

⇒ x = n/(n + 2)

Pregunta 9: Si 2tan -1 (sense x) = tan -1 (2s x) després resol per a x.

Solució:

2 tan -1 (sense x) = tan -1 (2 segons x)

⇒ tan -1 (2sense x)/(1 – sense 2 x) = tan -1 (2/cos x)

⇒ (2sense x)/(1 – sense 2 x) = 2/cos x

⇒ sense x/cos 2 x = 1/cos x

⇒ sense x cos x = cos 2 x

⇒ sense x cos x – cos 2 x = 0

⇒ cos x(sense x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 or sense x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 or tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 o x = π/4

Però a x = π/2 l'equació donada no existeix, per tant, x = π/4 és l'única solució.

Pregunta 10: Proveu aquest bressol -1 [ {√(1 + sense x) + √(1 – sense x)}/{√(1 + sense x) – √(1 – sense x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Solució:

Sigui x = 2y per tant

LHS = bressol -1 [{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= bressol -1 [{√(cos 2 i + sense 2 i + 2sense i cos i) + √(cos 2 i + sense 2 i – 2sin i cos y)}/{√(cos 2 i + sense 2 i + 2sin i cos i) – √(cos 2 i + sense 2 i – 2sin i cos i)} ]

= bressol -1 [{√(cos i + sense i) 2 + √(cos i – sense y) 2 } / {√(cos i + sense i) 2 – √(cos i – sense i) 2 }]

= bressol -1 [( cos i + sense i + cos i – sense i )/(cos i + sense i – cos i + sense i)]

= bressol -1 (2cos i)/(2sense i)

= bressol -1 (cot i)

= i

= x/2.

Pràctica de problemes sobre identitats trigonomètriques inverses

Problema 1: Resol x a l'equació sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Problema 2: Demostra que el bronzejat -1 (1) + tan -1 (2) + tan -1 (3) = pàg

Problem 3: Avaluate cos⁡(sense -1 (0.5))

Problema 4: Si bronzejat -1 (x) + tan -1 (2x) = π/4, llavors trobeu x

Preguntes freqüents sobre identitats trigonomètriques inverses

Què són les funcions trigonomètriques inverses?

Les funcions trigonomètriques inverses són les funcions inverses de les funcions trigonomètriques bàsiques (sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant i cotangent). S'utilitzen per trobar els angles corresponents a proporcions trigonomètriques donades.

Per què són importants les funcions trigonomètriques inverses?

Les funcions trigonomètriques inverses són essencials en diversos camps com la geometria, l'enginyeria i la física perquè ajuden a determinar angles a partir de proporcions trigonomètriques, la qual cosa és crucial per resoldre molts problemes pràctics.

Quins són els dominis i rangs de les funcions trigonomètriques inverses?

Cada funció trigonomètrica inversa té dominis i rangs específics:

s en -1 (x): domini [-1, 1] i rang [- π/2, π/2]

cos -1 (x): domini [-1, 1] i rang [ 0, π]

tan⁡ -1 (x): domini R i rang (- π/2, π/2)

Es poden utilitzar funcions trigonomètriques inverses en càlcul?

Sí, les funcions trigonomètriques inverses s'utilitzen sovint en càlcul per a la integració i la diferenciació. Són especialment útils per integrar funcions que impliquen expressions trigonomètriques.



Comparteix

Potser T'Agradarà

Els 8 trets d'Àries que has de conèixer

Els 8 trets d'Àries que has de conèixer

TAULA DE LÀTEX

TAULA DE LÀTEX

Articles Més Populars

Categoria

Bloc Conversió De Java Matemàtiques Col·leccions Java Diferències Cadena De Java

Articles D'Interès