Els triangles són polígons tancats de tres cares formats per la intersecció de tres rectes. Es troba molt a la vida quotidiana. És una de les formes bàsiques de la geometria. Té tres costats, tres angles i tres vèrtexs. Un triangle rectangle és aquell en què un dels angles sempre és igual a 90°. Teorema de Pitàgores es deriva per als triangles rectangles, que diu que el quadrat de la hipotenusa (el costat més llarg) és igual a la suma dels quadrats de la base i la perpendicular.

Donada la longitud d'almenys dos costats d'un triangle rectangle, podem trobar el valor de qualsevol angle del triangle rectangle. Per a això, utilitzem diverses funcions trigonomètriques com sinus, cosinus, tangent, cotangent, sec i cosec. Aquests ens ajuden a relacionar els angles d'un triangle rectangle amb els seus costats.

Propietats

• Hi ha un vèrtex en angle recte entre els tres vèrtexs
• El costat oposat al vèrtex en angle recte s'anomena hipotenusa .
• La longitud dels costats segueix el teorema de Pitàgores, que diu

hipotenusa ² = base ² + altitud ²

• La hipotenusa és el costat més llarg d'un triangle rectangle.
• Els angles diferents de l'angle recte són angles aguts ja que el valor és inferior a 90 ^O

Funcions trigonomètriques

ABC és un triangle rectangle amb ∠B com a angle recte

• cosθ: Això dóna la relació de la base per la hipotenusa d'un triangle rectangle.

cosθ = base / hipotenusa

• sinθ: Això dóna la relació de l'altitud per la hipotenusa d'un triangle rectangle.

sinθ = altitud / hipotenusa

• tanθ: És la relació de l'altitud per la base d'un triangle rectangle.

tanθ = altitud / base

• bressol: És la inversa de tanθ
• secθ: És la inversa de cosθ
• cosecθ: És la inversa de sinθ

Per trobar els angles d'un triangle rectangle, podem prendre la inversa trigonomètrica de la relació dels costats donats del triangle.

Exemple:

Si sinθ = x, llavors podem escriure

θ = sin ^-1 x.

Això retorna l'angle per al qual el valor del sinus de l'angle és x.

De la mateixa manera, existeix cos ^-1 θ, tan ^-1 jo, bressol ^-1 θ, sec ^-1 θ i cosec ^-1 i

Exemples de problemes

Pregunta 1. Donat un triangle rectangle, amb la base és igual a 10 cm i la hipotenusa és igual a 20 cm. Trobeu el valor de l'angle base.

Solució:

Donat, Base = 10cm

Hipotenusa = 20 cm

Sigui, el valor de l'angle base sigui θ. Podem escriure

cosθ = base / hipotenusa = 10/20 = 1/2

θ = cos ^-1 (1/2) = 60 ^O

Per tant, el valor de l'angle base és 60 ^O .

Pregunta 2. Troba el valor dels angles d'un triangle rectangle, donat que un dels angles aguts és el doble de l'altre.

Solució:

Com que sabem que la suma dels tres angles d'un triangle és 180 ^O .

Com que un dels angles és 90 ^O i un dels angles aguts és el doble de l'altre, els podem considerar θ i 2θ.

Per tant, podem escriure

90 ^O + θ + 2θ = 180 ^O

3θ = 180 ^O – 90 ^O

3θ = 90 ^O

θ = 90 ^O /3 = 30 ^O

2θ = 2 × 30 ^O = 60 ^O

Per tant, els angles són 30 ^O , 60 ^O , i 90 ^O .

Pregunta 3. Trobeu el valor de l'angle d'elevació d'una escala de 5m de longitud, donat que la base de l'escala es troba a una distància de 3m de la paret.

Solució:

Com que l'escala actua com a hipotenusa d'un triangle rectangle i la distància a la base és igual a 3 m, podem escriure

Hipotenusa = 5m

Base = 3m

Sigui l'angle d'elevació θ. Així, podem escriure

cosθ = Base / Hipotenusa = 3/5

θ = cos ^-1 (3/5)

θ = 53 ^O

Així, el valor de l'angle d'elevació és 53 ^O .

Pregunta 4. Troba el valor de la hipotenusa, tenint en compte que la longitud de l'altitud és 8m i l'angle base és igual a 30 ^O .

Solució:

Donat, l'angle base és igual a 30 ^O i l'altitud és igual a 8m, podem aplicar la funció sinus per trobar la longitud de la hipotenusa.

pecat30 ^O = altitud / hipotenusa

hipotenusa = altitud / sin30 ^O

Atès que el valor de sin30 ^O és igual a 1/2, podem escriure

hipotenusa = altitud / (1/2) = 2 × altitud

Així, hipotenusa = 2 × 8 = 16m

Així, la longitud de la hipotenusa és igual a 16 m.