Trobeu parells únics de manera que cada element sigui menor o igual que N
Donat un nombre enter N, trobeu i mostreu el nombre de parells que compleixin les condicions següents:
- El quadrat de la distància entre aquests dos nombres és igual a LCM d'aquests dos nombres.
- El GCD d'aquests dos nombres és igual al producte de dos nombres enters consecutius.
- Els dos nombres de la parella haurien de ser inferiors o iguals a N.
NOTA: Només s'han de mostrar aquells parells que segueixen les dues condicions anteriors simultàniament i aquests números han de ser inferiors o iguals a N.
Exemples:
Input: 10 Output: No. of pairs = 1 Pair no. 1 --> (2 4) Input: 500 Output: No. of pairs = 7 Pair no. 1 --> (2 4) Pair no. 2 --> (12 18) Pair no. 3 --> (36 48) Pair no. 4 --> (80 100) Pair no. 5 --> (150 180) Pair no. 6 --> (252 294) Pair no. 7 --> (392 448)
Explicació:
Les taules que es mostren a continuació donen una visió clara del que es pot trobar:
Les taules de dalt mostren el MCD format pel producte de dos nombres consecutius i els seus corresponents múltiples en els quals existeix PARELL ÚNIC corresponent a cada valor. Les entrades verdes de cada fila formen un parell únic per al GCD corresponent.
Nota: A les taules anteriors
- Per a la primera entrada GCD=2, el 1r i el 2n múltiple de 2 formen la parella única (2 4)
- De la mateixa manera, per a la segona entrada GCD=6, el segon i el tercer múltiple de 6 formen la parella única (12 18)
- De la mateixa manera, avançant per a l'entrada Z, és a dir, per a GCD = Z*(Z+1), és clar que el parell únic estarà format per Zth i (Z+1)è múltiple de GCD = Z*(Z+1). Ara Z-è múltiple de MCD és Z * (Z*(Z+1)) i (Z+1)è múltiple de MCD serà (Z + 1) * (Z*(Z+1)).
- I com que el límit és N, el segon nombre del parell únic ha de ser menor o igual que N. Per tant (Z + 1) * (Z*(Z+1)) <= N. Simplifying it further the desired relation is derived Z 3 + (2*Z 2 ) + Z <=N
Això forma un patró i del càlcul matemàtic es deriva que per a una N donada el nombre total d'aquests parells únics (per exemple Z) seguirà una relació matemàtica que es mostra a continuació:
Z 3 + (2*Z 2 ) + Z <= N
A continuació es mostra la implementació necessària:
// C program for finding the required pairs #include #include // Finding the number of unique pairs int No_Of_Pairs ( int N ) { int i = 1 ; // Using the derived formula while (( i * i * i ) + ( 2 * i * i ) + i <= N ) i ++ ; return ( i - 1 ); } // Printing the unique pairs void print_pairs ( int pairs ) { int i = 1 mul ; for ( i = 1 ; i <= pairs ; i ++ ) { mul = i * ( i + 1 ); printf ( 'Pair no. %d --> (%d %d) n ' i ( mul * i ) mul * ( i + 1 )); } } // Driver program to test above functions int main () { int N = 500 pairs mul i = 1 ; pairs = No_Of_Pairs ( N ); printf ( 'No. of pairs = %d n ' pairs ); print_pairs ( pairs ); return 0 ; }
Java // Java program for finding // the required pairs import java.io.* ; class GFG { // Finding the number // of unique pairs static int No_Of_Pairs ( int N ) { int i = 1 ; // Using the derived formula while (( i * i * i ) + ( 2 * i * i ) + i <= N ) i ++ ; return ( i - 1 ); } // Printing the unique pairs static void print_pairs ( int pairs ) { int i = 1 mul ; for ( i = 1 ; i <= pairs ; i ++ ) { mul = i * ( i + 1 ); System . out . println ( 'Pair no. ' + i + ' --> (' + ( mul * i ) + ' ' + mul * ( i + 1 ) + ')' ); } } // Driver code public static void main ( String [] args ) { int N = 500 pairs mul i = 1 ; pairs = No_Of_Pairs ( N ); System . out . println ( 'No. of pairs = ' + pairs ); print_pairs ( pairs ); } } // This code is contributed by Mahadev.
Python3 # Python3 program for finding the required pairs # Finding the number of unique pairs def No_Of_Pairs ( N ): i = 1 ; # Using the derived formula while (( i * i * i ) + ( 2 * i * i ) + i <= N ): i += 1 ; return ( i - 1 ); # Printing the unique pairs def print_pairs ( pairs ): i = 1 ; mul = 0 ; for i in range ( 1 pairs + 1 ): mul = i * ( i + 1 ); print ( 'Pair no.' i ' --> (' ( mul * i ) ' ' mul * ( i + 1 ) ')' ); # Driver Code N = 500 ; i = 1 ; pairs = No_Of_Pairs ( N ); print ( 'No. of pairs = ' pairs ); print_pairs ( pairs ); # This code is contributed # by mits
C# // C# program for finding // the required pairs using System ; class GFG { // Finding the number // of unique pairs static int No_Of_Pairs ( int N ) { int i = 1 ; // Using the derived formula while (( i * i * i ) + ( 2 * i * i ) + i <= N ) i ++ ; return ( i - 1 ); } // Printing the unique pairs static void print_pairs ( int pairs ) { int i = 1 mul ; for ( i = 1 ; i <= pairs ; i ++ ) { mul = i * ( i + 1 ); Console . WriteLine ( 'Pair no. ' + i + ' --> (' + ( mul * i ) + ' ' + mul * ( i + 1 ) + ')' ); } } // Driver code static void Main () { int N = 500 pairs ; pairs = No_Of_Pairs ( N ); Console . WriteLine ( 'No. of pairs = ' + pairs ); print_pairs ( pairs ); } } // This code is contributed by mits
PHP // PHP program for finding // the required pairs // Finding the number // of unique pairs function No_Of_Pairs ( $N ) { $i = 1 ; // Using the // derived formula while (( $i * $i * $i ) + ( 2 * $i * $i ) + $i <= $N ) $i ++ ; return ( $i - 1 ); } // Printing the unique pairs function print_pairs ( $pairs ) { $i = 1 ; $mul ; for ( $i = 1 ; $i <= $pairs ; $i ++ ) { $mul = $i * ( $i + 1 ); echo 'Pair no.' $i ' --> (' ( $mul * $i ) ' ' $mul * ( $i + 1 ) ') n ' ; } } // Driver Code $N = 500 ; $pairs ; $mul ; $i = 1 ; $pairs = No_Of_Pairs ( $N ); echo 'No. of pairs = ' $pairs ' n ' ; print_pairs ( $pairs ); // This code is contributed // by Akanksha Rai(Abby_akku) ?>
JavaScript < script > // Javascript program for finding the // required pairs // Finding the number of unique pairs function No_Of_Pairs ( N ) { let i = 1 ; // Using the derived formula while (( i * i * i ) + ( 2 * i * i ) + i <= N ) i ++ ; return ( i - 1 ); } // Printing the unique pairs function print_pairs ( pairs ) { let i = 1 mul ; for ( i = 1 ; i <= pairs ; i ++ ) { mul = i * ( i + 1 ); document . write ( 'Pair no. ' + i + ' --> (' + ( mul * i ) + ' ' + mul * ( i + 1 ) + ')
' ); } } // Driver code let N = 500 pairs mul i = 1 ; pairs = No_Of_Pairs ( N ); document . write ( 'No. of pairs = ' + pairs + '
' ); print_pairs ( pairs ); // This code is contributed by mohit kumar 29 < /script>
C++14 // C++ code for the above approach: #include using namespace std ; // Finding the number of unique pairs int No_Of_Pairs ( int N ) { int i = 1 ; // Using the derived formula while (( i * i * i ) + ( 2 * i * i ) + i <= N ) i ++ ; return ( i - 1 ); } // Printing the unique pairs void print_pairs ( int pairs ) { int i = 1 mul ; for ( i = 1 ; i <= pairs ; i ++ ) { mul = i * ( i + 1 ); cout < < 'Pair no. ' < < i < < ' --> (' < < ( mul * i ) < < ' ' < < mul * ( i + 1 ) < < ')' < < endl ;; } } // Driver Code int main () { int N = 500 pairs mul i = 1 ; pairs = No_Of_Pairs ( N ); cout < < 'No. of pairs = ' < < pairs < < endl ; print_pairs ( pairs ); return 0 ; }
Sortida:
No. of pairs = 7 Pair no. 1 --> (2 4) Pair no. 2 --> (12 18) Pair no. 3 --> (36 48) Pair no. 4 --> (80 100) Pair no. 5 --> (150 180) Pair no. 6 --> (252 294) Pair no. 7 --> (392 448)
Complexitat temporal : O(N 1/3 )
Espai auxiliar : O(1)
